|
本研究の主目的は、Milnorによって研究されたガンマ関数の"higher depth版"(以下これをMilnorガンマ関数と呼ぶ)の幾何学的・数論的な類似を調べることである。本年度の研究結果は以下の通りである。
1、負定曲率のコンパクトリーマン面上のラプラシアンに対する"higher depth行列式"の研究:
昨年度までの研究で、それは多重ガンマ関数と"Milnor-Selbergゼータ関数"と呼ぶべき新しい関数(Selbergゼータ関数の一般化)で書けることが分かっていた。このMilnor-Selbergゼータ関数について、対数関数の分枝をうまく選ぶことで、通常のSelbergゼータ関数同様(然るべきスリットを入れた領域への)解析接続、関数等式、さらにはオイラー積表示を得ることができた。これらの結果は、東京工業大学の黒川信重氏と九州大学の若山正人氏との共同研究で得られたものであり、論文にまとめて投稿した。
2、高次元球面上のラプラシアンに対する"higher depth行列式"の研究:
昨年度までの研究で、それは多重ガンマ関数の冪の積商で書けることが分かっていた。この表示には対称性が強く現れており、一般化を考えるにあたって大変見通しの良いものとなっている。この結果を論文にまとめて投稿した。
3、GL_dの保型カスプ表現に付随するL関数の零点に関する"higher depthゼータ正規化積"の研究:
Deningerによって、Riemannゼータ関数の非自明零点に渡るゼータ正規化積が本質的に完備Riemannゼータ関数に一致する、という結果が得られている。この結果の"higher depth版"を、GL_dの保型カスプ表現に付随するL関数に対して導いた。より詳しく、上記L関数の非自明零点に渡る"higher depthゼータ正規化積"が、Milnorガンマ関数と"poly L 関数"と呼ぶべき L 関数のある一般化で書けることが分かった。また、この poly L 関数については、その反復積分表示を導き、それが解析接続を与えることも確かめた。これらの結果は九州大学の若山正人氏との共同研究で得られたものであり、論文にまとめて投稿した。
|
