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E-多頂式の理論については、Eisenstein級数に対応するものであり、あらゆる点において
Eisenstein級数の理論と平行した結果が予想できる。多く点が明らかになってきたが、細部で証明できていない部分がある。例えば、環の正規化型の定埋が考えられるのだが、E-多項式の共通零点をみて整を言う部分はうまくいくのだが、E-多項武の消滅性の部分で小完全なところがあり、定理として確定されていない。この部分は恩一多項式を詳しく書き下すところに一つのヒントがあり、その部分は組合せ論的・群論的にも興味深い。E-多項式については数度、研究集会で話す機会があったのだが、聴衆からの質問からさらに進んだ点もあり、今後詰めていく予定である。
E-多項式の理論、つまり保型形式の理論におけるEisenstein級数の類似を有限群の不変式論において構成しようという試みは、複素鏡映群の場合に拡張して考えられた。僕の修士の学生はその場合の環についての計算を行い、不変式環がEisenstein級数の対象物で構成できるか否か、を考察した。一致する場合もあればしない場合もあるのだが、その理由ははっきりしていない。
符号理論的に面白いと思われる場合などは一致
している。奥田隆幸(東大)の指摘によると、ルート系の長さが違う場合など問題設定を変更すべきかもしれない。いずれにせよ、我々が行っているE-多項式および複素鏡映群でのE-多項式は、さらに大きなクラスの群の不変式環で考察することが興味深いであろうことを示唆していると思われる。どの程度、拡張して意味あるのかはよくわかっていない。
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