| 研究概要 |
整数環上のシンプレクティック群をテータ関数に作用させることにより、有限群が得られる。この有限群の不変式環とジーゲルモジュラー形式の関係は、Broue-Enguehardに始まり、Hermann,Duke,Rungeらにより明らかになった。この対比は有限の世界と無限の世界をうまく表しており、ジーゲルモジュラー形式と代数的組合せ論の豊潤な結びつきをもたらした。
歴史的に見るとジーゲルモジュラー形式が長い歴史をもっており、多くの研究がなされてきた。上の有限群、およびその不変式環は代数的組合せ論、更に詳しく符号理論や格子の理論との結びつきが知られており、我々のこれまでの研究は代数的組合せ論(有限の世界)をジーゲルモジュラー形式(無限の世界)に応用する形でなされてきた。
E-多項式は上の有限群の特別な不変式である。細かい定義は省略するが、この不変式がジーゲルモジュラー形式の理論におけるEisenstein級数に対応するものとして私が定義したものである。この不変式にある種のテータ関数を代入することにより、ジーゲルモジュラー形式が得られるが、一般にEisenstein級数そのものは得られないことに注意する。今年度は、種数1の場合にこのE-多項式から得られるモジュラー形式の零点について考察し、Eisenstein級数と似通った性質をもっているという観察を行った。ただし、現段階では一般には証明されていない。どのような性質かというと、零点が基本領域の半径1の部分にあること、分離定理と呼ばれる零点の配置状況、フーリエ係数がp-整数になる、ということなどである。
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