| 研究概要 |
前年度に引き続き,主にp進体上の代数群GSp(4)に伴うRapoport-Zink空間のエタールコホモロジーに関する研究に取り組んだ.この空間は,2次元,高さ4のp可除群とその主偏極の組の変形空間として得られる形式スキームである.その形式スキームに伴うリジッド空間(adic空間)上には,レベル構造を考えることで塔ができ(Rapoport-Zink塔と呼ばれる),そのエタールコホモロジーにはGSp(4)とその内部型GU(2,D)およびWeil群が自然に作用する.これら3つの群の作用によってエタールコホモロジーを分解すると,GSp(4),GU(2,D),Wei1群の表現の間に興味深い対応が得られるだろうという予想がKottwitz, Rapoportによってなされている.この予想は,GL(n)の場合の非可換Lubin-Tate理論(局所Langlands対応,局所Jacquet-Langlands対応の幾何的実現)の一般化にあたり,数論表現論いずれの立場から見ても極めて重要な研究課題である.
本年度は,前年度にほぼ得られていた,GSp(4)のRapoport-Zink塔のi次コホモロジーに超尖点表現が現れるのはiが2,3,4の場合に限るという結果について,詳細をチェックしつつ論文にまとめた.また,その証明の過程で必要になる形式隣接輪体の変種については,それ自身が重要な道具になりえると判断したため別の独立した論文にまとめた.この論文の結果により,例えば形式スキームの一般ファイバーとして得られるリジッド空間のコンパクト台コホモロジーをその形式スキームの底空間上のエタール層のコホモロジーとして捉えることができる.さらに,Rapoport-Zink塔のコホモロジーをLefschetz跡公式を用いて計算するという計画を実行するため,固有でないadic空間のLefschetz跡公式に関する一般論の考察を行いGSp(4)およびU(2,1)というサイズの小さい群に対するPapoport-Zink塔には適用することが可能な公式を証明することができた.これを用いて実際にコホモロジーの計算を行うことが来年度の課題である.
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