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本研究の目的は、局所体上の幾何学的torsion Galois表現の新しい分析手法の構築であった。前年度は幾何学的torsion Galois表現の半単純化の解析法について研究し、目的を達成したので、本年度は次の目的である、半単純化を取る前のtorsion Galois表現の、分岐現象を含めたより詳しい解析法について研究した。
その結果、研究実施計画に述べた、混標数と等標数の分岐現象の類似についての研究で成果が得られた。有限平坦表現は幾何学的torsion Galois表現の一種であるが、混標数局所体と等標数局所体で有限平坦表現の分岐現象が一致する、という定理が前年度の研究で得られていた。この定理を用いて混標数局所体からより単純な等標数局所体に移行することで、有限平坦表現の詳しい解析が容易になる。本年度はこの研究をさらに推し進めた。具体的には、まずこの定理の証明をBarsotti-Tate群による分解を用いて整理・簡略化したうえで、定理のp進Siegel保型形式の理論に対する応用を与えた。
p進Siegel保型形式の(pでの)Hecke作用素のスペクトル理論を展開するには、Abel多様体の標準部分群の理論が必要になる。標準部分群とはAbel多様体のreductionにおけるFrobenius写像の核の持ち上げのことであり、Abel多様体がordinary reductionに「近い」時に限って存在することが知られている。標準部分群はAbel多様体のp巾torsion部分の分岐部分群として現れるため、その理論は有限平坦表現の分岐現象の一種とみなせる。本年度は、上記の定理を用いた等標数への移行によって、これまでに知られていた標準部分群の存在条件を改良し、先行研究とオーバーラップがある場合でも簡明な新証明を与えた。上記の定理とこの標準部分群の存在定理は、本年度中にそれぞれ講演を行い、論文を作成した。前者についての論文は学術雑誌に投稿中である。
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