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1. まず数論的研究に関しては、次数2のシンプレクティック群GSp(2)とその内部形式のジャッケ・ラングランズ対応の例を保型形式のレベルで与えることを一つの目標としていた。これについて今年度は、これまで研究してきた荒川リフトという内部形式上の尖点形式と岡崎武生氏により構成されたGSp(2)上のパラモヂュラー尖点形式が、同じ大域的なスピノールL関数を持つことを発見した。つまりこの2つの保型形式がジャッケ・ラングランズ対応の条件を満たす保型形式の例を与えることが分かつた。
2. 更に、昨年度まで研究していた荒川リフトのフーリエ係数の2乗ノルムと次数8のランキン-セルバーグL関数の中心値の明示的関係式を精密化し以下の結果を得た。
(1) 上記の1の発見を応用することで、荒川リフトのフーリエ係数の2乗ノルムと岡崎民が構成したパラモヂュラー形式のランキン-セルバーグL関数の中心値との明示的関係も得た。これはべヘラー、古澤-マーティン-シャライカの予想と両立するものである。
(2) フーリエ係数の非消滅性が示されている荒川リフトに対して、それに付随するランキン-セルバーグL関数の中心値が正になる例を与えることができた。これは岡崎氏が与えたパラモヂュラー形式についても言える。これまでL関数の中心値の研究については、非負性の結果はいくつか知られているが、より強く真に正となる例を与えた結果はあまりないように思われる。
3. 次に幾何学的応用の方面の研究として、実双曲空間を含む一般の等質自己双対錐体上の実数値保型関数の一般論を作った。この研究の発端となった松本-吉田が構成した3次元双曲空間上の実数値保型関数は、この一般論で与えた保型関数の線形結合として表される。今回の結果は幾何学的応用の方面の問題として考えている、双曲空間を数論的群で割って得られる双曲多様体の実ユークリッド空間への埋め込み問題と関係するものと期待している。
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