| 研究概要 |
トーリック環およびトーリックイデアルは,可換環論のみならず,整数計画問題,分割表の検定(統計学),符号理論など,幅広い応用が知られており,国内外の研究者によって盛んに研究されている。当該研究では,トーリック環の生成系をなす単項式集合の組合せ論的な変形,あるいは,生成系に対応する整数ベクトル集合の凸閉包に対する幾何的な変形によるトーリック環およびトーリックイデアルの環論的性質の変化について研究し,これらにまつわる様々な予想の解決を目指している。当該年度の研究では,研究の出発点として,配置の凸閉包に対して,どのような変形が考えられるか検討した。第一に,多面体の積などの基本的な操作の一般化である「ネストされた配置」を考え,トーリック環の正規性やvery ample性,および,トーリックイデアルの生成系,グレブナー基底の構造について解析を行い,多くの性質が対応するトーリック環,トーリックイデアルに遺伝することを証明した。第二に,重要な多面体のクラスである,有限グラフに付随する切断多面体の正規性についても考察し,正規切断多面体全体の集合が,有限グラフのマイナーを取る操作,および,クリーク和を取る操作に関して閉じていることを証明した。(辺の縮約に関して閉じていることは,多面体の面を考えることになることから,既に知られていた。)この結果は,Sturmfels-Sullivantによる予想「有限グラフに付随する切断多面体が正規であることと,5次の完全グラフをマイナーとして持たないことは同値である」の解決に向けて大きな寄与が期待できる。
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