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平成21年度はまず、ある環積のねじれゲルファントペアから導かれる指標環と多成分の対称関数環が同型であることを示し、その同型写像による球関数の像が、シューア関数とシューアのQ関数、さらにzonal多項式逹の積になることを示し、プリプントを一編完成させた。この結果によって、環積のなすねじれゲルファントペアの球関数がすべて決定された。
また、その際フロベニウスーシューア指数が重要な役割を果なすが、これに関してもある群のペアを考えることにより一般化を得ることができた。フロベニウスーシューア指数は無重複表現と非常に深い関りを持つので、この結果を個々の具体例に応用することで、研究テーマに関して有用な発見がなされるだろうと期待している。
また、有限群のゲルファントペアと確率モデルとの関係についても調べた。これは主にDiaconisによって提唱された方法である。簡単に説明すると、ある確率空間に群作用があったとき、その群作用で不変な確率の計算に帯球関数が非常に上手く利用できるというものである。そこで、私は多数の壼とボールのモデルを複素鏡映群のゲルファントペアの等質空間とみなすことで、ボールを取り出し、壼に移し変えるという操作を繰り返したときの確率を明示的に表示した、この際に以前示した帯球関数の表示が本質的な役割を演じた。
また、複素鏡映群をワイル群にもつ仮想的な代数群に関する問題に関して、仮想的なゲルファントペアを構成することについて、明海大学の中島逹洋の協力のもとに、問題の設定を済ますことができた。これにより、次年度以降の研究をスムーズに進めることがきるだろうと期待している。
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