研究概要 |
向きづけられた閉3次元多様体内の絡み目に対して,色付きTuraev-Viro不変量という不変量が定義されている.この不変量が,これが(2+1)次元の位相的場の理論の性質を持つことを示した.2次元の閉曲面のうち,特にトーラスは写像類群の単純閉曲線への作用が日自明であるものの中で,もっとも簡明である.このことを用いて,たとえば,レンズ空間内のトーラス結び目にたいして,これをレベルに持つトーラスで切り,さらに,トーラスの写像類群生成元であるメリディアンとロンジチュードでのDehnツイストそれぞれに対して1つのコボルディズムを構成していくことで,(2+1)次元の位相的場の理論の議論に乗せ,具体的な公式を与えた. ハンドル体とは,3次元球体にいくつかの「取っ手」を取り付けて得られる向き付け可能なコンパクト多様体のことを言う.3次元多様体内に埋め込まれたハンドル体のことを,ハンドル体結び目とよぶ.特に,3次元球面内の自明なハンドル体についでは,これを保つ3次元球面の自己同相写像(のアンビアントアイソトピー類)のなす群の研究が,トンネル数1の結び目の研究に強力な手法を与えることがCho-McCulloughらによって示されている.両者を結びつけているのは,ハンドル体の円盤複体と呼ばれる単体複体である. 私は,自明ではないハンドル体結び目に対して,上記のような自己同相群の成す群による,ハンドル体の円盤複体の作用と,その商空間を調べ,ハンドル体結び目がある意味で可約性を持つ場合において,これを決定した.
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