研究概要 |
本年度の研究は主に2つに分けられる. 1つ目は3次元多様体内の空間グラフの不変量である色つきTuraev-Viro不変量に関する研究で,これを2次元のオブジェクトのコボルディズムに関係するあるカテゴリーから体へのファンクターを通して理解し,このファンクターが位相的場の理論の公理を満たすことを示した.ここで,3次元多様体の四面体分割をそのまま用いると上の対応はセミファンクターにしかならないが,その双対概念の拡張であるスパインを用いるとちゃんとファンクターになることがポイントである.上のカテゴリーの各オブジェクトには曲面の写像類群が自然に作用するが,特に曲面がトーラスの場合に,この作用を精密に調べることにより,3次元レンズ空間内のHeegaard分解を与えるトーラスの上に乗ったグラフのcolored Turaev-Viro不変量を,位:相的場の理論の性質を通して導くことができた. 2つ目は,写像類群に関する研究である.コンパクトな向き付け可能3次元多様体Mと,その部分空間Nに対して,Nを保つM上の自己同相写像のなす空間の連結成分のなす群をこの対の写像類群とよび,MCG(M,N)と書く,今年度は,3次元球面S^3内の任意の空間グラフΓに対して,MCG(S^3,I)が群として有限表示可能であることを示した,さらに,Vを3次元球面内の可約なハンドル体で種数が2のものとするとき,MCG(S^3,V)が有限表示可能であることを示した.後者の結果は3次元球面に標準的に埋め込まれた種数2のハンドル体に関して近年Scharlemann,Akbas,Choらによって得られた結果の自然な拡張になっている.
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