| 研究概要 |
本研究の目的は空間内の大域的性質を幾何的に理解しやすい状況で調べる方法であるガウス写像の像の様相と曲面の形状との関係を解明することである.今年度は主に3次元双曲型空間内の曲面の双曲的ガウス写像の値分布について調べ,次の2つのテーマについて一定の成果を得ることができた.1つは「平均曲率が1の曲面の双曲的ガウス写像の値分布」についてである.平均曲率が1の曲面(CMC-1曲面)の双曲的ガウス写像は正則写像となることから値分布論的性質が期待される.そこで研究代表者は非平坦か完備CMC-1曲面の双曲的ガウス写像の完全分岐値数の最良の上限は4であることや双曲的ガウス写像の次数が有限なクラス(代数岡CMC-1曲面)の完全分岐値数は幾何的意味をもつ上限により評価されることがわかった.また,代数的な場合について完全分岐値ラ数を'より詳細しく調べることで,代数的極小曲面のガウス写像の値分布とは異なる結果を発見し,以上の結果を論文にまとめ,今年度に学術雑誌に掲載することができた.もう1つは「平坦波面(フロント)の双曲的ガウス写像の値分布」についてである.ある種の特異点を許容したクラスである波面が平坦な場合,双曲的ガウス写像は有理型関数の対で表すことができる.そこで,完備な場合に対して,我々の分岐評価の結果と國分雅敏氏・梅原雅顕氏・山田光太郎氏によって得ることができたオッサーマン型不等式を組み合わせることで,この曲面のクラスでの双曲的ガウス写像の除外値数および完全分岐値数に対して幾何的量による評価式を得ることができた.また,これを応用することにより,幾つかの位相的条件において,より精密な除外値数の上限を与えることができた.そしてこれまで知られている例を値分布論的視点から見直すことで我々が得た評価式の意味を与え,また幾つかの新しい具体例を構成することができた.この結果も論文にまとめており,海外の学術雑誌に掲載が決定している.
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