| 研究概要 |
本研究の目的は,空間内の曲面の大域的性質を調べる方法として,ガウス写像の像の様相と曲面の形状との関係を解明し,その応用を与えることであった.今年度は主に空間内で特異点を許容する曲面の大域的性質をガウス写像の視点から調べ,以下に述べる結果を得ることができた.近年,特異点を許容する曲面の大域的性質が活発に研究されている.その中で研究代表者は,同じく九州大学大学院数理学研究院にいる中條大介博士研究員との共同研究で,弱完備性をもつ3次元アファイン空間内の非固有アファイン波面と呼ばれる特異点を許容するクラスでのラグランジアンガウス写像と呼ばれる有理型関数の除外値数の最良の評価を与えることができた.また,この結果を応用することで,「アファイン完備かつ特異点を持たない場合は楕円放物面に限る」というベルンシュタイン型の定理をラグランジアンガウス写像の有界性(リュービル性)から導くことができるという新しい証明を発見することができた.この証明により,これまであまり理解されていなかった,ベルンシュタイン型の定理の幾何学的背景を明らかにすることができ,特異点付き曲面の研究におけるガウス写像の値分布の研究の新しい応用を発見することができた.また同様の結果を,3次元双曲型空間内の平坦波面についても示すことができ,以上の結果をまとめた学術論文を作成し,専門雑誌に投稿中である,この結果は学会・シンポジウムで発表をし,国内外で高く評価され,幾つかの招待講演を受けた.
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