| 研究概要 |
3次元多様体内の本質的laminationという概念が、Gabai-Oertelによって導入されている。これは本質的曲面と葉層構造の中間の性質をもつものであり、それ自身はコンパクトではないが、コンパクトな対象である、本質的branched surfaceを用いて調べることが可能である。一方、任意のコンパクト、向きづけ可能な3次元多様体はHeegaard分解をもつことが知られている。Heegaard分解とは多様体を、向き付けられた閉曲面(Heegaard曲面)のみで交わる2つの多様体に分解するものであるが、Heegaard曲面と本質的曲面の交わりの曲線をみることにより多様体の位相的性質を導くという研究が、Haken, Casson-Gordon, Shultens等によりなされている。研究代表者は本質的laminationの葉とHeegaard曲面の交わりの曲線を、本質的branched surfaceを利用して調べ、特にHeegaard曲面の種数が2のとき、コンパクトな対象では起こらない興味深い現象が起こることを確認した(小林毅氏との共同研究)。本質的laminationとHeegaard曲面の交わりを調べるという研究は、今までなされていない新しいものであり、今後の発展が期待できる。例えば本質的laminationの葉に対して、種数にあたる、位相的な複雑さを表す概念を導入した上で、より複雑な葉に対して、また、より種数の高いHeegaard曲面に対してさらに研究をすすめることができれば多様体と、許容される本質的laminationの葉の位相的性質との間の関連が明らかにされると期待される。
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