| 研究概要 |
本年度は以下のテーマについて研究を行った.
1.閉曲面から3次元空間へのはめ込み写像と平面への安定写像の関係について引続き考察した.空間内に埋め込まれた,向き付けられたトーラスを平面への安定写像に射影する.そしてジェネリックホモトピーでこの安定写像を変形させる事により,リフトが正則ホモトピーかつトーラスの裏返しになっているものを具体的に構成した.これによりトーラスの裏返しの様子の新たな記述法を与えた.古典的にはトーラスのメリディナンとロンジチュードを入れ替える裏返しが知られていたが,今回はロンジチュードを変化させず,メリディアンを2k(ロンジチュード)+(メリディアン)という閉曲線に変化させる裏返しも構成した.
この結果の鍵となる部分は,名古屋工業大の平澤美可三先生との共著として,現在プレプリントにまとめている所である.
2.向き付けられた閉曲線から直線への(安定とは限らない)Morse関数が平面への埋め込みにリフトするための必要十分条件を与えた.この結果より,Morse関数の最大値,最小値を与える点集合の閉曲線上の配置が埋め込みリフトの存在に密接に関わる事が分かった.この結果は現在プレプリントにまとめている所である。また関連話題として安定なMorse関数を1つ固定した上で,それのリフトとして得られる埋め込みをアイソトピーで分類せよという問題についても考察を行った.しかし残念ながらこちらについては,まだ決定的な結果は得られていないため,来年度以降も引続き取組んでゆく計画である.
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