| 研究概要 |
(1)コンタクトフロヤスの超フラウン運動標準測度への収束について
果樹園などの系における伝染病伝播をモデル化した「コンタクトプロセス」の臨界現象を研究.時空間n+1点相関関数の高次元スケーリング極限が,超ブラウン運動標準測度のn次モーメント測度に弱収束することをレース展開の手法で証明した.オランダのvan der Hofstad教授との共著論文がElectronic Journal of Probabilityに掲載されることが内定した.
(2)長距離2体相互作用による臨界現象への影響について
浸透過程を表わす代表的なモデルである「有向(ボンド)パーコレーション」の高次元臨界現象に対する長距離相互作用の影響を研究.このモデルは,コンタクトプロセスの離散時間版と考えることもできる.病気の伝染率に相当するボンドの占有確率が各ボンドの端点間距離の冪(=d+α,dは空間の次元,αは正のパラメター)でゆっくり減衰する場合,2点相関関数のスケーリング極限がα=2を境に「クロスオーバー」を起こすことを証明した.さらに,2点相関関数の空間依存性を詳しく調べ,特にα=2のとき,空間成分のモーメントの時間増大性に対数補正が掛かることを証明した.共にレース展開の手法を用いている.台湾のChen教授と共著論文を作成した.
また,磁石のモデルであるイジング模型やパーコレーション,高分子鎖のモデルである自己回避歩行などの空間等方的な統計力学モデルの臨界現象に対する長距離2体相互作用の影響についても研究.これらのモデルの臨界2点相関関数の漸近評価について具体的な傍証が集まりつつあり,途中結果をパリの国際研究集会で発表した.Chen教授との共同研究が進行中である.
(3)超臨界相パーコレーションのレース展開について
従来の高次元臨界現象の研究は,専ら「低密度相」や「高温相」側から近付いたものであった.「高密度相」や「低温相」側から近付けない理由は単純ではないが,技術的な問題だけではないことが,九州大学の原教授との超臨界相パーコレーションに関する共同研究の中で明らかになってきた.レース展開や新しい相関不等式を開発すると共に,我々に欠落している超臨界相の描像を模索し始めた.
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