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本年度は以下の研究を遂行した。1.Levy型のノイズに関する無限次元微分方程式の不変測度の一意性を考察した。緩やかな条件を仮定して、この方程式の解についての強いFeller性と既約性をそれぞれ調べ、不変測度の一意性を得ることができた。さらに強いFeller性を証明するためにはBismut-Elworthy型の公式を導いた。この結果は論文にまとめ、現在雑誌に投稿中である。2.Riesz-FellerポテンシャルとRiemann-Liouville微分作用素が含まれる分数ベキ微分作用素についての確率偏微分方程式の研究を行った。まず、この分数ベキ作用素に関する基本解を詳しく評価し、ゴウス型ノイズを付け加えて得られる分数ベキ微分方程式の解のヘルダー連続性であることを証明した。次は、弱い条件の下で、ある瞬間力を表すジャンプ型ノイズに対する分数ベキ微分方程式の解の存在と一意性およびマルコフ性を得た。その上で、適当な分数ベキの条件を仮定して、解のヘルダー連続性も示した。3.非線形放物型確率発展方程式の爆発問題の研究を行った。ある条件を満たさないと、決定的な有界領域上の非線形熱方程式の解が有界時間で爆発されることはよく知られている。自然的な問題としては適当なノイズを加えて、解の爆発時刻が遅れとなるかである。本研究は比較定理などを用いて、ガウス型ノイズを加えることによって、解の爆発時刻がある程度で長くなることを明らかに得た。すなわち、適当なランダムの揺らぎは爆発問題に対して重大な役割を果たすことが認識された。このような研究は今後も継続していきたいと思っている。
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