| 研究概要 |
本研究課題では主に微分方程式の逆問題等の数学解析と数値解析を取り上げている.自然科学の現象を記述する微分方程式は数学のみならず,科学及び工学全般に幅広く応用されており,数学的な微分方程式の解の存在や一意性,与えられたデータに対する連続性等の順問題に対する解析はすでに詳しく考察されている.これに対して逆問題の解の構成に対する数学的研究では様々な問題点が指摘されている.工学・医学での応用のために解の形状を具体的に目に見える形で得るには数値解析的手法に頼らざるを得ない.更に数値的手法を用いても逆問題の性質上,非適切な場合が多く,安定した高精度の数値計算を行うためには問題がある.この様な背景から数理モデルとしての微分方程式の解の一部の情報からその方程式の係数を決定するという逆問題を解析することは,単に数学的重要性があるだけでなく応用面においても意義がある.本研究では実施計画どおりに応用科学(特に医学・工学)に現れる問題を確率微分方程式でモデル化し,数学解析,情報理論および数値計算を用いて確率的挙動が与える影響について解析を行った.この研究の具体的な背景として,脳内における神経細胞の活動を詳細に調べることが上げられるが,今回は神経細胞の集団としての発火活動から神経細胞の結合を推定するという逆問題についても高精度で決定可能であることを解析した.個々の神経細胞のモデル化はHodgkin-Huxley方程式を用いており,神経細胞間の結合によって極めて複雑な活動を発生させた状況下であっても,個々の神経細胞の発火活動のみから,結合の構造を推定する逆問題を精度良く求める解析手法を確立することが可能となった.
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