| 研究概要 |
統計力学の観点からの、フラクタルグラフの研究を行っている。当該年度は特にシェルピンスキーガスケットグラフにおける最小全域木(minimal spanning tree、MST)の構成を行い、その統計的性質について調べた。最小全域木については一様全域木(uniform spanning tree、UST)と比較し計算が煩雑となるが、このフラクタルでは再帰的な構造から得られる漸化式を基に統計量を厳密に計算することがほぼ可能であり、実際に計算を進めた結果、統計的にUSTよりもわずかに複雑な(Hausdorff次元の高い)全域木が現れることがわかった。MSTはパーコレーションモデルに大きく関係する確率モデルであり、関連した研究にも意義があると考える。
また、USTについては前年の研究に引き続き3次元空間内のフラクタルグラフでも計算を行い、2次元の場合同様に対応するLoop-Erased Random Walk(LERW)の指数の値を得、また連続極限による確率過程を構成することができた。こうしたランダムな全域木およびLERWは他のフラクタルグラフでも構成可能であり、USTやMSTによる特徴づけでフラクタルの新たな分類ができる,と考えられる。
加えて、再帰構造から得られる漸化式の計算を応用し、同様の漸化式を持つ確率ゲームの研究を行い、ゲームの勝率に関する結果を得た。この成果はフラクタルに関わる計算技術の副産物として得られたものと言ってよく、この分野でもさらなる研究成果が得られると期待される。
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