| 研究概要 |
本年度は,係数にランダムネスを含まない場合の粘性ハミルトン・ヤコビ方程式を取り扱った.粘性ハミルトン・ヤコビ方程式に対するコーシー問題の解の長時間挙動を調べることが最終的な目標だが,本年度はまず時間無限大での極限として現れるエルゴード型ベルマン方程式について詳しく考察した.具体的には,この方程式の解が存在するための必要十分条件を求め,ある特別な場合には適当な同一視の下で解の一意性が成立することを示した.さらに,この解から自然に定まる拡散過程がエルゴード(正再帰)的となるための必要十分条件を,エルゴード型ベルマン方程式の解の定性的な性質で特徴づけた.この特徴づけは粘性ハミルトン・ヤコビ方程式に対するコーシー問題の解の長時間挙動を知る上で重要な役割を果たす.
本年度の研究によって得られた知見として,上述の結果の証明にはハミルトニアンの狭義凸性のみが本質的であることが分かった.これにより,これまであまり調べられてこなかった2次以上の増大度を持つハミルトニアンに対しても本研究の結果が適用できるなど,様々なタイプの方程式を統一的に取り扱うことが可能になった.証明は古くからよく知られているリヤプノフの方法に基づくものだが,ハミルトニアンの凸性をうまく利用することで適切なリヤプノフ関数が具体的に構成できることを示し,証明そのものを簡潔かつ見通しの良いものに改良した.
本年度に得られた結果は,論文「Recurrence and transience of optimal feedback processes associated with Bellman equations of ergodic type」として学術雑誌に投稿中であり,来年度以降の研究の足掛かりとする.
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