| 研究概要 |
本年度は,昨年度に得られたエルゴード型ベルマン方程式の解とそれに付随する拡散過程についての結果を足掛かりに,(ランダムネスを係数に含まない場合の)粘性ハミルトン・ヤコビ方程式の解の長時間挙動について考察した.具体的には,ハミルトニアンがグラジエント変数と空間変数に関して2次の増大度を持つ場合を主に取り扱った.このクラスの方程式は確率制御問題を考える際に自然に現れ,古典的によく知られている線形2次ガウス型(Linear Quadratic Gaussian)制御を典型例として含む重要なクラスである.方程式を考える領域が全領域で,しかも解は非有界(2次増大)関数となるため,係数の増大度が解の長時間挙動に密接に関わる.この点が先行研究にない本研究の特色のひとつである.
本年度の研究成果として,ある程度一般的な状況下で粘性ハミルトン・ヤコビ方程式の解は長時間経過後にエルゴード型ベルマン方程式と呼ばれる定常問題の解に収束することがわかった.定常問題の解は一意性をもたないので,収束の証明は非自明な問題である.方程式がグラジエント変数に関して2次増大であるという仮定と,定常問題の解に付随する拡散過程のエルゴード性をうまく用いて必要な評価式を導出することが証明のキーポイントである.ハミルトニアンの空間変数に関する増大度が2次以外の場合も適当な条件下では同様の収束がいえることがわかり,これに関するいくつかの十分条件も得ることができた.以上の結果の一部は,中央研究院(台湾)のS.J.Sheu氏との共同研究に基づいている.
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