| 研究概要 |
本年度は,最適制御問題に由来する粘性ハミルトン・ヤコビ方程式のうち,ハミルトニアンがグラジエント変数に関して優線形増大かつ空間変数に関して多項式増大となる場合を取り扱った,具体的には,初期値問題の解がエルゴード問題と呼ばれる定常問題の解に収束することを証明した.昨年度の研究では,ハミルトニアンがグラジエント変数と空間変数に関して2次増大の場合を考察したが,そこではハミルトニアンの2次増大性が本質的な仮定だったので,昨年度の研究で得られた方法を優線形増大のハミルトニアンに対して直接適用することはできない.そこで,ハミルトニアンがグラジエント変数に関して2次増大とは限らない場合にも適用できるような,より一般的な方法を開発することが本年度の目標となる.
本年度の研究成果として,まず定常状態を記述するエルゴード問題の解の増大度に関する精密な評価を導出した.この評価により,解の増大度とハミルトニアンのグラジエント変数に関する増大度の関連性を定量的に理解することが可能になった.次に,この評価を用いて粘性ハミルトン・ヤコビ方程式の解が長時間経過後にエルゴード型ベルマン方程式の解に収束することを証明した.証明の際に,エルゴード型ベルマン方程式の解の適切な意味での一意性を先に示しておく必要があるが,本年度の研究で得られた解の増大度評価により,ハミルトニアンが2次増大の場合だけではなく優線形増大の場合にも一意性が成り立つことが分かった.さらに,極限として現れる関数を,エルゴード型確率制御問題の値関数と最適制御の言葉で特徴付けることができた.
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