| 研究概要 |
本研究課題を遂行するために,テーマ1:「交差」に着目した経路問題(巡回セールスマン問題,車両配送問題など)の多項式時間で解けるクラスの研究,およびテーマ2:平面上のn点凸状配置に対するハミルトン閉路のフリップによる交差の解消に関する理論と計算機実験の両面からの研究の2つに取り組んだ.
まず,テーマ1については,前年度までに,Strong Demidenko条件をみたすインスタンスに対し,車両配送問題の最適解が多項式時間で求められることを示していたが,今年度,Demidenko条件を満たす場合でも同様の結果,すなわち多項式時間で解けることを示した.Strong Demidenko条件とは異なり,Demidenko条件を課した場合には,最適解の経路の中にピラミッド型でない構造を含んでしまう例を前年度までに見つけていたが,今回このような構造はdepotという特別な頂点の周辺以外には生じないことを示すことができ,解決することができた.しかし,depotの周辺でこうした構造が生じてしまう場合についてはまだよくわかっていないことが多く,この現象を含め,Demidenko条件の持つ性質をさらに解明することは今後の課題である.
また,テーマ2については当初の目標であった予想の解決には至っていないが,類似の問題として,集合{1,2,…,n}上の順列に対し,適切な1箇所に区切りを入れ,必要ならばその両側の2つの値を交換することにより,区切りの両側の和をほぼ均等(差が1以下)にできることを示した.区切りを入れるだけでは差が2以上になってしまう例も見つけており,均等分割には2つの値の交換が本質的であることも示した.また,この結果を平面上のn点配置に関する問題に応用し,離散幾何における均等分割に関する定理を示すことができた.さらに,この定理の最善性を示す例を凸状配置で見つけることもできた.この例の無限系列については今後の課題である.
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