| 研究概要 |
コンパクト概エルミート多様体上の曲線が従うある空間1次元3階非線型分散型偏微分方程式に対する初期値問題の解の存在問題を考察した.多様体が実2次元球面で方程式の各項の係数がある関係をみたす場合,この方程式は渦糸運動と関連した完全可積分系モデルを記述する.本研究では,これらの方程式の偏微分方程式(系)としての構造を多様体の幾何学的設定の観点から考察したい.自身の先行研究により,多様体がケーラー多様体である場合,古典的エネルギー法が機能するため時間局所解の存在は容易に従うことがわかる.また、特に多様体がリーマン面で方程式の各項の係数がある関係をみたす場合には,方程式が完全可積分系の構造を保ち,解が時間大域的に延長されることもわかる.今年度はまず昨年度に引き続き多様体のケーラー性が破綻する場合を考察し,「ケーラー多様体でなくとも初期値問題が時間局所的に一意可解となる」ことを研究集会や学術雑誌において発表した.この場合は方程式に反対称な1階項が現れ古典的エネルギー法は機能しないものの,ある種の擬微分作用素を用いて誘導束の断面に作用するゲージ変換を構成することにより,この1階項は解消されエネルギー法を機能させることができる.次にこれまで得られていた解が時間大域的に存在するための十分条件を多少緩和し,「多様体がコンパクト局所エルミート対称空間ならば解が時間大域的に存在する」ことを確認じた.この場合は,方程式は各項の係数の関係を仮定しないので一般には非完全可積分系となるものの解が時間大域的に延長されるような特別な場合に該当している.実際,本研究では,元の曲線の方程式と複素数値関数がみたすある定数係数の3階分散型方程式との対応に着目し,ある種の擬保存量を導入することにより解の有限時間での爆発が制御されることを確認した.
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