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コンパクトケーラー多様体上の曲線の運動を記述するある空間1次元4階非線型分散型偏微分方程式に対する初期値問題の解の存在問題を考察した。特に多様体が標準的な実2次元球面であるとき、この偏微分方程式は古典スピン系や渦糸運動のある高次近似モデルとして知られている。本研究では偏微分方程式系としての構造と多様体の幾何学的設定との関連に着目し、時間局所解の存在や一意性、時間大域的延長可能性についての結果につなげることを目指した。従来この方面で調べられてきた2階、3階の分散型偏微分方程式とは異なり、写像の像空間がケーラー多様体であってもいわゆる2階と1階の可微分性の損失が起こり古典的エネルギー法による解法が機能しないため、その克服可能性を考察した。定義域が実数直線である場合については千原浩之氏(鹿児島大学)との共同研究により局所平滑化効果を利用すれば時間局所解の存在と一意性が従うことがわかったので、定義域が1次元トーラスである場合を主に考察した。この場合は定義域のコンパクト性により局所平滑化効果を利用した解法は期待できないため方程式の構造のより詳細な解析が重要であったが、多様体の断面曲率が定数であるならば、見かけ上の可微分性の損失をもたらす項がある種のゲージ変換を用いて解消可能な構造を持つことがわかり、結果的に時間局所解の存在が従うことがわかった。これらの結果については現時点ではまだ発表に至っていないが、解の一意性の証明も与えたうえで論文にまとめて発表したいと思う。
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