| 研究概要 |
今年度は小林孝行教授(佐賀大学)との共同研究として,ストークス方程式を半空間や摂動半空間で重み付きLp空間において解析を行った.ストークス方程式は流体力学の基礎方程式として知られるナヴィエ・ストークス方程式の線形化方程式であり,非線型方程式を解析する上で重要な方程式である.
全空間や外部領域といった良く研究されている領域においてはすでに重み付きLp空間のヘルムホルッ分解やレゾルベント評価が知られており,その結果から導かれるストークス半群の重み付き評価や非線型方程式への応用も知られている。今年度行った研究ではそれらの結果を半空間と摂動半空間に拡張し,同様の結果を得ることを試みた,その結果として,一般の重み関数のクラスであるマッケンホウプトクラスに属する重み関数に対してそれを重みにもつLp空間でヘルムホルツ分解が成立することを摂動半空間において示すことができた(半空間についてはすでに知られている).また,レゾルベントストークス方程式の解に対する重み付きレゾルベント評価を得ることができ,これにより重み付きLp空間においてストークス半群が生成することができた.さらに,重み関数を1つのものに固定した場合(具体的には1+|x|)とした場合の重み付きLp-Lq評価を得ることができた.
この重み付きLp-Lq評価を用いることで加藤理論を用いてストークス方程式の非線型方程式として知られるナヴィエ・ストークス方程式の時間局所解や初期値が小さいときの時間大域解などを示すことが期待できる.
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