| 研究概要 |
今年度は小林孝行教授(佐賀大学)との共同研究として,ストークス方程式を外部領域や半空間・摂動半空間上の重み付きLp空間において解析を行った.ストークス方程式は流体力学の基礎方程式として知られているナヴィエ・ストークス方程式の線形化方程式であり,非線形方程式を解析する上で重要な方程式である.
昨年度の共同研究により得られたストークス半群の非斉次重みの付いたLp-Lq評価を外部領域においてより精密な評価にすることを行った.昨年度までに得られていた評価では,重みに関する指数に制限が強く非線形問題への応用に際して技術的な制限が必要であった.しかし今年度得られた評価では,より制限を弱くすることに成功し,非線形問題への応用にも技術的な制限なしで適用できる.より具体的には,ストークス半群自身の非斉次重みの付いたLp-Lq評価は重み関数がある重み関数のクラスに入っていれば成立することが示され,ストークス半群の微分に対する評価では考える関数空間の指数が重みを考慮した場合のスケーリング不変な関数空間の指数以下であれば,全空間の場合と同じ減衰度を得ることができ,指数がそれ以外であれば,局所エネルギー減衰定理と同じ減衰度をえることができることがわかった.これは重みがない場合の自然な拡張として考えることができる.
この評価により,初期値が重みを考慮した場合のスケーリング不変な関数空間に属している場合に対して,非線形問題の解の一意存在性と重み付き漸近挙動を得ることができる.また,新しく得られた評価により外部領域において得られている定常解の安定性への応用も4次元以上であれば重み付き評価を用いて示すことができた.
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