| 研究概要 |
超対称性をC*ダイナミカル系として定式し、一般的な性質を数字的に厳密に導くことを目標とする.公理的な場の理論においては,ルプスザンスキーらによって研究されている.しかし我々のアプローチでは,ヒルベルト空間はGNS表現を通して後から出てくるので,超対称性を持つC*ダイナミクスから出発する必要がある.そのため,C*代数上の超対称性微分,(superderivation)が基本要素となるが,この組織的かつ具体的な研究は今までなされてきておらず,筆者によって本格的に開始されたといえる.
昨年度(I)強連続(II)弱連続の場合にダイナミクスの扱いを分け,C*代数における超対称性系のスキームを提示した.本年度はこれまで一般論にとどまっていた仮定(axioms)を具体的なモデルの中で再検討し,一部を適切なものに変えながらその性質を調べた.
(I)はC*環の分野であるC*微分理論の超対称性への拡張といえる.これまでの数学手法が使えることが期待できる点や,微分のどの性質が超対称性による捩れで変わるのかなど数学的な興味がある.しかし超対称性は本来はボゾンを含むので,場の理論の数理を目指すには(II)がより重要である.
(I)の場合にCAR代数で具体的な例を構成し,超対称性微分が前閉になる十分条件を得た.超対称性微分の二回合成がいつ時間発展群の前生成子になるのか,またいかなる場合に超対称性微分と時間発展群が可換になるかなどを研究した.
(II)の場合に昨年度ブッホルツ教授との議論で得たアイデアを具現化させた.ボソン部分を表すレゾルベント代数において軟化子を導入し,超対称性微分を時間発展の生成子に結びつけることが鍵になるが,これを適切な代数関係として表すことに成功した.
さらに(I)(II)両者に対して超対称性が破れない状態のGNS表現において.超対称性代数が作用素(非有界)の関係式として表現されることを証明した.昨年度の内容に上記の改良を加えたものを論文にして投稿中である.
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