| 研究課題/領域番号 |
21K03153
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
山崎 隆雄 東北大学, 理学研究科, 教授 (00312794)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| キーワード | 代数学 / 数論幾何 / 代数幾何学 / 整数論 |
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| 研究実績の概要 |
先行課題からの継続としてモチーフ理論を研究し，次の成果を得た．
1.モジュラス付きモチーフの三角圏を構成した．これは10年以上前から本研究の中心課題と位置付けられていたものであるが，それが三本の論文として受理または出版された．第一論文は一般モジュラス対とその上の層の基礎理論，第二論文は固有モジュラス対の上の層の理論，第三論文はそれらを用いたモチーフの圏の構成にあてられている．以上はBruno Kahn氏，斎藤秀司氏，宮崎弘安氏との共同研究である．
2.モジュラス付きモチーフはVoevodskyのモチーフの拡張であるが，後者はホモトピー不変移送付き層を用いて構成される．我々は以前の研究でホモトピー不変移送付き層を拡張した相互層の理論を展開していた．Bruno Kahn氏，斎藤秀司氏との共同研究では相互層とモジュラス付きモチーフの関係を明らかにした．
3.相互層のテンソル積について，Kay Ruelling氏，杉山倫氏と共同研究を行った．これは1990年代に染川やRaskind-Spiessの先駆的な研究がなされてより，多くの研究者によって多様な研究がなされてきた．我々は相互層という新たな観点からこの問題を再検討し，多くの古い結果を復元できることを確認するとともに，二つの加法群のテンソル積について新しい現象を発見した．
4.ホモトピー不変移送付き層の拡張として相互層があることを上で述べたが，さらなる一般化としてP1不変移送付き前層が考えられる．これは相互層に比べ条件が緩すぎてモチーフ圏の構成といった目的にはそぐわないが，Brauer群や対数的Hodge-Wittコホモロジーのようにホモトピー不変ではないがP1不変な不変量を計算する上では有用である．この観点から小田部氏の結果を見直すことで，小田部氏やBinda-Ruelling-斎藤の結果を拡張することに成功した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
上記の通りモチーフ理論に関しては多くの進展が得られたものの，非合同モジュラー曲線の研究に突破口が見いだせず，十分な研究成果に至らなかった．研究が思うように進まなかった一つの理由は，感染症蔓延のために出張が思うようにできず，対面で研究打ち合わせをする機会を設けられなかったことが大きい．
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| 今後の研究の推進方策 |
モジュラー曲線の一般ヤコビ多様体について，これまでの結果を1-モチーフとモジュラー記号の理論へと発展させたい．それぞれ，これまで共同研究を進めてきた多くの研究者と協力して進めてゆく予定である．
コロナウィルス蔓延のために今年度も多くの出張をキャンセルせざるをえなかった．そのために生じた繰越金も少なくない．今後は感染症蔓延状況が改善されていくことが期待できるが，そうなった場合は共同研究者と対面で研究打ち合わせを行いたい．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
コロナウィルス蔓延のために今年度も多くの出張をキャンセルせざるをえなかった．そのために生じた未使用金が多い．今後は感染症蔓延状況が改善されていくことが期待できるが，そうなった場合は共同研究者と対面で研究打ち合わせを行いたい．
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