| 研究課題/領域番号 |
21K03154
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| 研究機関 | 埼玉大学 |
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研究代表者 |
飛田 明彦 埼玉大学, 教育学部, 教授 (50272274)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| キーワード | 有限群の表現論 / 有限群のコホモロジー / 有限群の共役類 / 有限群の分類空間 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の研究対象は、有限群の表現論に関わる様々な構造の解析である。有限群の構造、部分群の fusion、分類空間のホモトピー論、等について、表現論とコホモロジーを通じて探求を行う。表現論の視点からの手法を主とし、併せて、両側 Burnside 多元環や両側集合圏の理論を応用した研究を行う。有限群の通常表現やモジュラー表現に加えて、有限次元多元環の表現論の観点からの考察も行なう。
有限群の幾何学的な性質、特に、分類空間やコホモロジーの性質に関して、群の p-部分群の状況は重要な情報である。その抽象化であるフュージョンシステムは、分類空間の安定分解や標数 p の体を係数とするコホモロジー環の構造に強く関連し、群の両側集合を通して両側Burnside 環の作用とも結びついている。
有限群のコホモロジー環の両側Burnside 環上の加群としての構造の研究は表現論とホモトピー論との関係の探究に大きく寄与する。本研究では、この点を視野に含めながら有限群や多元環の表現論の観点からの研究を目的とする。
本年度は、主としてモジュラー表現についての研究を実施した。群多元環は直既約な多元環（ブロック多元環）の直積に分解し、各ブロック多元環の表現についての考察が必要となる。ブロック多元環には不足群あるいは下位不足群という重要な p-部分群が付随している。一方、加群がどの部分群から誘導されるかを測る相対射影性を記述する対象として、直既約加群の vertex がある。これらについて、ブロック多元環上の既約加群と下位不足群の関係を考察した。既約加群の vertex とブロックの下位不足群の間の対応で、各 vertex は対応する下位不足群を含むようなものが存在することを示し、主ブロック型のブロック多元環については更に強い結果を得た。また、可解群の場合には特に詳しい状況を調べることができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度は、有限群の構造や表現論について、特に、正標数の体上の群多元環のブロック多元環の表現に関する研究を実施した。中でも、有限群のブロック多元環の既約加群と、ブロックに分配された共役類および下位不足群に着目した研究を行った。
ブロック多元環の既約加群とブロック多元環に分配された正則共役類との間のある適切な対応により、既約加群の vertex は対応する共役類に付随する下位不足群を含むことを示し、vertex の位数とカルタン行列式との関係についての不等式を得た。この包含関係や不等式について、主ブロック型のブロック多元環については更に強い結果を得ることができ、また、可解群の場合のブロック多元環についても詳しい状況を得ることができた。
一方、昨年度の研究において提起した様々な関連した問題について引き続き考察を行うことができた。既約指標の次数、共役類の長さ、カルタン行列の行列式、不足群の焦点部分群の位数、これらの間の大小関係や整除関係、既約指標の不足数和と共役類の不足数和、不足群の焦点部分群の位数を関連付けた不等式、主ブロックについて焦点部分群と共役類の長さの p-部分との関係、可換不足群予想との関係、ブロックの下位不足群との関係、等々の問題について探求を深めることができた。
また、所属大学において開催された、第54回環論および表現論シンポジウム（2022年9月）の会場責任者を担当し、関連する様々な諸問題について多くの研究者と有意義な検討・議論を行い、情報を取集することができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでに引き続き有限群の構造と表現論についての研究を推進する。それとともに、コホモロジー論への応用、両側Burnside 多元環の表現論とコホモロジー環への作用についての応用に関する研究を進める。モジュラー表現論のみならず複素既約表現と群構造の関係についての再検討や、多元環の表現論、Burnside 多元環の表現、両側関手の表現などの圏論的な方法、など様々な観点から進める必要があり、そのためにこれらの対象に関する情報収集と独自の研究を深めていく予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
参加予定であった学会、研究集会等について、参加できない状況や、オンライン開催となったものが多く旅費の支出が少なくなった。翌年度の状況については、図書や資料等の購入を通じて情報収集に努める予定である。
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