| 研究課題/領域番号 |
21K03168
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| 研究機関 | 東京都立大学 |
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研究代表者 |
津村 博文 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (20310419)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| キーワード | 整数論 / ゼータ関数 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の重要な課題として、レベル2の多重ゼータ値である多重T値の張る空間の考察があげられる。これは九州大学の金子昌信氏との共同研究で、その基礎となる理論が2020年に出版された2本の論文で発表されているが、今年度はその継続的な研究を行った。とくにレベル2の荒川-金子型ゼータ関数が2020年の研究で定義されたが、その関数の満たす双対公式と呼ばれる関係式を証明することに成功した。これはレベル1の荒川金子型ゼータ関数でも似たような考察が可能であるが、今回の結果から、多重T値の間の新しい関係式族を導出することができた。この結果は、金子氏、Pallewatta 氏および研究代表者との共同研究において考察されたポリオイラー数と呼ばれる数列の双対公式を関数的に補間した関数関係式族であって、多重ポリログを積分因子としてもつようなある種の積分表示を通して得られる。これにより、同じ双対公式と呼ばれる2つの概念が本質的には同じ考え方の上に成り立っていることが示された。さらにはこの概念をレベル1の荒川金子型ゼータ関数に適用することによって、多重ゼータスター値の双対公式が、実は大野第2公式と呼ばれるものと同値であることが示されて、その一つの解釈を与えることができた。さらにはEulerの示したポリログの関係式を、レベル2の荒川金子型ゼータ関数に適用することで、さらに多重T値のベルのクラスの関係式族を与えることができた。これらの結果は、九州大学で行われた研究集会「九大多重ゼータセミナー拡大版」において発表した。現在、金子氏との共著論文としてまとめている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究実績の概要で述べたように、金子氏との共同研究は順調に行えて、満足いく成果を得られていると思われる。一方で、多重T値の次元予想などに関して取り組んでいるフランスの数学者グループなどとの研究交流のために、渡仏の機会、もしくは専門家を日本に招聘するなどの機会をうかがっているが、現在のコロナ感染の状況から、現状としては難しいのが実情である。そうであっても、予定していた研究に関しては、こちらの想像を超えた結果あるいは予想なども定式化できつつあるので、このままの研究が続けられれば当初の目標は十分に達成できる可能性が高いと考えられる。国際的な研究集会なども、様々な事情で中止、もしくは限定的なオンライン開催に切り替わっているため、研究発表の場が限られている感は否めない。少しでも早く、国際的な交流の機会が増えることが強く望まれる。また前研究課題から継続している小森靖氏、松本耕二氏とのルート系のゼータ関数に関する研究も、ようやく対面であって議論する時間が取れるようになってきたので、この方向での進展も十分に期待できる。
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| 今後の研究の推進方策 |
金子氏との共同研究の今後の方向性として、レベル4の多重ゼータ値、つまり導手が4の多重L値の研究があげられる。この研究にはいわゆる導手が4の一般ベルヌーイ数のポリ化、つまりポリオイラー数の研究が不可欠である。ここにきてこれまでのポリオイラー数とは別種の定義がうまく機能することが分かってきたので、それをもとに新たな研究の推進が期待できる。これはレベル4の多重ポリログが何であるかという大事な問いにもなり、これが明確になると、レベルNの多重ポリログをどうとらえるかという大きな問題にもつながってくる点では重要な考察であると考えられる。単に形式的な多重化ではなく、これまでの数学的な枠組みに見合った形での多重ゼータの一般化は大事なテーマであるため、現在の研究をベースに、今後の望ましい方向性を提起できればと考えている。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナ感染症対策として、参加を予定していた研究集会や対面での研究打合せなどが行えず、使用予定の旅費が予定通りには執行できなかった。次年度はだんだんと対面での研究集会なども開催される可能性が出てきており、海外も含めた研究出張を行うことで、予算執行を検討したい。ただ、現時点ではまだはっきりとした計画が立っておらず、次年度も国内外の状況を踏まえた上での判断をせざるを得ないと考えている。
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