| 研究課題/領域番号 |
21K03175
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| 研究機関 | 千葉大学 |
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研究代表者 |
松田 茂樹 千葉大学, 統合情報センター, 准教授 (90272301)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| キーワード | p進解析 / Wittベクトル |
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| 研究実績の概要 |
数論においては、有理数体の通常の距離についての完備化である実数体だけでなく、各素数ｐについてのｐ進距離についての完備化であるｐ進体についての理論が大切になる。ｐ進体に定まる距離は一般に超距離と呼ばれるものである。
本研究では古典的にはｐ進体の構成等に使われているＷｉｔｔ環の理論を一般化し、正標数の場合を含む超距離について完備な体である超距離体の上での解析学に応用することを目的にしている。昨年度は一般化されたＷｉｔｔ環の理論についての、Ｗｉｔｔ余ベクトルのなす加群およびＷｉｔｔ双ベクトルのなす環を構成し、その基本的な性質を調べた。今年度はその結果を用いて、できるだけ一般的な枠組みの中でＢａｌｄａｓｓａｒｒｉによりｐ進フーリエ解析の研究に導入されたプサイ関数の拡張の構成について考察を深めた。その結果、解析関数としての拡張は一般にはあまり自然ではなく、一般化にも制限がついてしまうこと、その代わりに連続関数であって双Ｗｉｔｔ環についてある性質を満たすものとして一般化することで、自然でよい性質を持つものが一意的に定まり、特殊な場合にはＢａｌｄａｓｓａｒｒｉのプサイ関数と一致することがわかった。まだ一部確認できていないところもあるが, この一般化によりこれまでの一般化における制約をかなりなくすことができると思われる。
また今年度は高次元のＷｉｔｔベクトルについても定式化を行った。これについてはこれまでは従来のＷｉｔｔ環との類似から可換環の枠内での一般化のみを考えていたが, 非可換になる場合を含めることで, アルティン・ハッセの指数関数の持つ基本的な性質が高次元のＷｉｔｔ環の場合に拡張できることがわかった。
以上の結果の一部について, 北海道で開催された研究集会, Ｌ-Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｍｏｔｉｖｅｓ ｉｎ Ｎｉｓｅｋｏ ２０２２で発表を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
Ｂａｌｄａｓｓａｒｒｉのプサイ関数の一般化については, 従来あった制限をなくすための新たな拡張の方法が見つかったが, そのために確認しなければいけない事項も増えたために, 少し理論の整理に時間がかかっている。
研究実施計画に記したＷｉｔｔ環の理論の高次元化については, 基本的な拡張の枠組が固まり, アルティン・ハッセの指数関数についても高次元のものが定義できて, 最低限満たすべき性質は成立することが確かめられた。ただし, パイ指数関数の構成はまだできていない。
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| 今後の研究の推進方策 |
Ｂａｌｄａｓｓａｒｒｉのプサイ関数の一般化について, 例の構成も含めてきちんと整理する。これによりｐ進フーリエ変換の理論の一般化に進むことができる。また高次元の, つまり多変数のＷｉｔｔ環については, 非可換のＷｉｔｔ環の理論があるので, それとの関係を見ることで, より深い性質が得られパイ指数関数の理論につながると考えている。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
旅費の使用が想定よりも少なかったため。
次年度の物品費ないし旅費として使用する予定である。
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