| 研究課題/領域番号 |
21K03181
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| 研究機関 | 島根大学 |
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研究代表者 |
青木 美穂 島根大学, 学術研究院理工学系, 教授 (10381451)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| キーワード | 代数体の整数環 / 正規整基底 / アルティンのL関数 / ガウス周期 / L関数の特殊値 |
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| 研究実績の概要 |
(1) 前年度得られたShanksの馴分岐3次巡回体の正規整基底とガウス周期に関する結果が雑誌Annales mathematiques du Quebecに受理された. また前年度に得られていたLehmerの馴分岐5次巡回体の正規整基底とガウス周期に関する結果を論文にまとめ, 現在投稿中である. その他の素数次巡回体に関しても研究を行っている.
(2) アーベル数体の整数環のガロア加群の構造について書かれたLeopoldtとLettlの論文を解読し, (1)で扱った古典的ファミリーで与えられる素数次巡回体の整数環のassociated orderを求め, 馴分岐の場合と同様の手法を用いて整数環のガロア加群としての生成元を求めることについて研究を進めた (小川元氏, 島根大学大学院生との共同研究）. 特にShanksの3次巡回体の場合, associated orederの構造から, ガロア加群として整数環は2個の元で生成されることが分かり, これらを馴分岐の場合と同様に定義多項式の根で与えることができた.
(3) Shanksの3次巡回体(simplest cubic field)だけではなく, 一般の3次巡回体に対し,馴分岐・暴分岐両方の場合の整数環のガロア加群の構造について研究を行った. これまでに用いたAcciaro-Fiekerのアルゴリズムの他, Albertによる3次体の整基底に関する明示的結果, および暴分岐の場合はLeopoldとLettlのassociated orderに関する結果を用いる.
(4) 前年度得られた大域体の素イデアルに関する偏りとアルテインのL関数の中心点における収束性との関係についての結果が雑誌Journal of Number Theoryに受理された.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究実績の概要(1)の結果についてのShanksの馴分岐3次巡回体の場合は論文が受理され, Lehmerの馴分岐5次巡回体の場合も論文を投稿中である. これらの結果は九州大学で開催された第14回福岡数論研究集会と神戸大学で開催された三角函数研究会において発表し, 国内外の研究者から多くのコメントや助言を頂いた. また, この研究は暴分岐の場合や, 一般の巡回拡大体の場合にも考察できることが分かり, 研究は進展している.
研究実績の概要(4)の結果についても論文が受理され, 東北大学の整数論セミナーで発表を行った. 計算データの収取については, 国内の研究者との共同研究により，多くのデータを収集することができている.
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| 今後の研究の推進方策 |
研究実績の概要(2)で述べたShanksの暴分岐3次巡回体の整数環に関する結果をまとめ, 雑誌に投稿する. また, 一般の巡回拡大に関しても研究を進める. 一方, 有理数体上の非可換ガロア拡大体の整数環の構造は興味深く, 特にFrohlichらによって考察されたArtin root numberなどの解析的な不変量との関係は興味深い. これらのことについて先行研究の論文をさらに解読し, 研究を進めたいと考えている. さらに時間の余裕があれば有理数体以外の基礎体上の相対代数体に関する考察や代数体の整数環のK群になどについても研究を行いたいと考えている. また計算機による計算データの収集も国内外の研究者と連携を取りながら行いたいと考えている.
次年度の研究費は書籍購入以外は, 主に国内外の研究出張のための旅費に充て, 研究発表や研究交流に役立てたい.
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2022年度は対面の研究集会やセミナーが増えたため, 国内旅費については予定通りの使用額であった. しかし海外渡航が依然厳しい状況であったため, 海外旅費の使用が無かった. 2023年度は, コロナ禍前の状況にほぼ戻ると思われるので, 2022年度使用予定だった旅費を使用する予定である.
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