| 研究課題/領域番号 |
21K03185
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
山本 修司 慶應義塾大学, 理工学研究科(矢上), 特任准教授 (20635370)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| キーワード | 多重ゼータ値 / 多重ポリログ関数 / 超幾何関数 |
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| 研究実績の概要 |
本年度は，一変数化された多重ポリログ関数の双対関係式およびそのq類似に関する論文を投稿し，掲載受理された．この論文で提示した双対関係式の証明は，いわゆる連結和法によるものであり，一変数多重ポリログ関数の級数表示を一定の方法で式変形していくことで等式を示す．この式変形の過程で，ガウスの超幾何関数を一般項に含む無限級数が現れる．またその式変形においては超幾何関数の隣接関係が本質的に用いられる．多重ポリログ関数と超幾何関数との間にあるこの関係は，本研究の着想の基礎をなす現象の一つである．なお，もう一つの重要な現象はいわゆる大野ザギエ関係式であり，こちらは多重ポリログを一般項に含む無限級数が超幾何関数になる，というものであった．
このような多重ポリログ関数と超幾何関数との間にある双方向の深い関係を解明し，多変数などの状況に拡張することが本研究の目標である．そこで本年度は，上記論文の作成以外の研究活動として，多重ポリログ関数と超幾何関数がそれぞれどのように一般化されるかということについて先行研究の調査を行った．特にグラスマン多様体上に定義される一般超幾何関数について，青本・喜多『超幾何関数論』や木村『超幾何関数入門』などの記述をもとに検討した．これらの超幾何関数に対応する多重ポリログ関数の定式化や関係式の証明といった具体的な成果はまだ得られていないが，考えるべき反復積分の形などについてある程度の示唆が得られた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究の出発点の一つであり，今後の研究の基礎となるべき「一変数多重ポリログ関数とガウスの超幾何関数の関係式」を含む論文が完成し，掲載受理に至ったことは研究期間の初年度として一定の進展と考える．また具体的な定理などの成果を得るには至らなかったものの，一般超幾何関数に関する先行研究について基本的な知識を整理し，今後の研究の方向についていくつかの示唆を得ることができたと考えている．これらのことを踏まえて，現時点での研究はおおむね順調に進展していると判断した．
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| 今後の研究の推進方策 |
グラスマン多様体上で一次式のベキ積の積分として定義される一般超幾何関数に対応して，それらの一次式の反復積分で与えられる関数について考察する．特にそれらの反復積分が満たすべき帰納的な微分方程式と，一般超幾何関数を特徴づける微分方程式の比較により，大野ザギエ関係式の類似が得られるかどうか検討する．また，ガウスの超幾何関数の隣接関係から連結和の輸送関係式が得られた枠組みを改めて検証し，一般化の方向を探る．
初年度はコロナ禍の影響もあり，他の研究者と議論する機会をほとんど持てなかった．今後は研究費を活用して，この問題に興味を持つ研究者たちと議論する機会を積極的に作りたい．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
本来，研究費の大部分を出張旅費として使用する予定であったが，本年度中の長い期間にわたり，新型コロナウイルス感染症の影響により，国内外を問わず出張を自粛せざるを得ない状況が続いたため，大きな未使用額の発生を余儀なくされた．次年度は，少なくとも国内出張に関してはこのような状況の緩和が期待される．また大規模な研究集会の開催は難しくても，個人間の研究連絡のための出張は可能な場合があることも分かってきた．そこで次年度は，研究集会・セミナー等への参加に加えて，より積極的な直接対面での研究討論の実施を計画しており，そのための旅費として本研究費を活用する．
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