| 研究課題/領域番号 |
21K03198
|
|---|
| 研究機関 | 東京工業大学 |
|---|
研究代表者 |
内藤 聡 東京工業大学, 理学院, 教授 (60252160)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
|
| キーワード | 代数学 / アフィン量子群の表現論 / アフィン・リー環の表現論 / レベル・ゼロ表現 / 半無限旗多様体 / 旗多様体の量子 K-群 |
|---|
| 研究実績の概要 |
複素単純代数群 G に付随する無限次元代数多様体である半無限旗多様体の (G の極大トーラス H に関する) 同変 K-群は、有限次元旗多様体 G/B の H-同変量子K-環と密接な関係がある事が知られている。特に、G/B のH-同変量子 K-環における反優整基本ウエイトに付随する直線束との量子積は、G に付随する半無限旗多様体の H-同変 K-群における同じウエイトに付随する直線束とのテンソル積により明示的に記述される事が分かっている。なお、半無限旗多様体の H-同変 K-群における、より一般の反優整ウエイトに付随する直線束とのテンソル積に関しては、佐垣大輔教授 (筑波大学)、D. Orr 教授 (Virginia 工科大学) とのこれまでの共同研究により、明示的な公式が得られている。但し、このテンソル積と、G/B の H-同変量子 K-環における同じ反優整ウエイトに付随する直線束との量子積との関係は、それほど単純ではない。
本年度の研究成果として、佐垣大輔教授との共同研究により、ある種の形の (必ずしも反優とは限らない) 整ウエイトの場合にこれらの間の明示的な関係を記述する事ができた。そして、この明示的関係に基づいて、これまでに佐垣大輔教授、D. Orr 教授、C. Lenart 教授 (New York 州立大学) との共同研究により得られていた半無限旗多様体の H-同変 K-群における逆 Chevalley 公式を用いて、G/B の H-同変量子 K-環における幾つかの非自明な関係式を証明した。そしてさらに、G が A 型の場合に、G/B の H-同変量子 K-環を多項式環の具体的なイデアルによる剰余環としての表示を得る事ができた。さらに、各 Schubert 類の多項式代表として、量子二重 Grothendieck 多項式が取れる事も証明ができた。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
(連結かつ単連結な) 複素単純代数群 G に付随する半無限旗多様体の (G の極大トーラス H に関する) 同変 K-群を研究する主たる目的の一つとして、通常の有限次元旗多様体 G/B の H-同変量子 K-環の研究への応用が挙げられる。G/B の H-同変量子 K-環そのものに比べて、半無限旗多様体の H-同変 K-群の研究は、より密接にアフィン量子群のレベル・ゼロ表現、特にレベル・ゼロ Demazure 加群の次数付き指標と関係している。そこで、半無限旗多様体の H-同変 K-群を経由することで、G/B の H-同変量子 K-環の研究の有力な道具としてアフィン量子群のレベル・ゼロ表現の結晶基底 (そして、その半無限 Lakshmibai-Seshadri パスによる実現) を使う事が可能になる。
そのような応用の具体例として、本年度の研究の結果、G/B の H-同変量子 K-環に対して、多項式環の具体的なイデアルによる剰余環としての表示を与える事ができた。さらに、各 Schubert 類の多項式代表として、(Lenart-Maeno により導入された) 量子二重 Grothendieck 多項式が取れる事も証明できた。これらは、本研究課題における大きな研究成果であると考えられるので、現在までの進捗状況はおおむね順調に進展していると言える。
一方で、simply-laced でない場合、即ち B, C, F, G 型の複素単純代数群に付随する半無限旗多様体の H-同変 K-群における逆 Chevalley 公式の記述に必要となると考えられる decorated 量子 walk の定式化は、未だにできていない状態であり、その意味では今後の進捗状況は予断を許さない。
|
| 今後の研究の推進方策 |
G が A 型の (連結かつ単連結な) 複素単純代数群の時には、通常の有限次元旗多様体 G/B の H-同変量子 K-環を、多項式環の具体的なイデアルによる剰余環として表示する事ができた。この証明には、G に付随する半無限旗多様体の H-同変 K-群における逆 Chevalley 公式が重要な役割を果たした。G が C 型の場合には、decorated 量子 walk による記述ではないが、逆 Chevalley 公式の (量子 alcove model による) ある種の具体的な記述が、河野隆史氏 (早稲田大学; 学振特別研究員) との共同研究によって既に得られている。そこで、この結果を使って、C 型旗多様体 G/B の H-同変量子 K-環を、多項式環の具体的なイデアルによる剰余環として表示する事を考えている。この明示的な表示が得られれば、各 Schubert 類の多項式代表としてどのような多項式を取れば良いかの予想をする事が可能になる、つまり、C 型量子二重 Grothendieck 多項式の定式化が可能になる筈である。そしてこの定式化できれば、A 型の時と同様に、G に付随する半無限旗多様体の H-同変 K-群における Chevalley 公式を使って、その予想を証明する事ができるものと期待される。
一方で、G が simply-laced でない複素単純代数群のときにも、decorated 量子 walk の定式化を行い、それを用いた逆 Chevalley 公式の記述とその証明をする事は、本研究課題における重要な目的の一つである。そこで、先ず G が C 型の場合に既に得られている記述を参考にして、decorated 量子 walk の定式化を見出したいと考えている。
|
| 次年度使用額が生じた理由 |
本年度には、私が organizer の一人として参加した国際研究集会 "Conference on Algebraic Representation Theory 2022" が、筑波大学において開催された。当初の予定では、海外及び国内からのこの国際研究集会への参加者の旅費の補助のために、相当額の助成金を使用する予定であった。しかし、実際にこの研究集会を開催してみると、まだコロナ感染症の影響が大きく、海外からの参加者のほとんどはオンライン参加となった。その結果として、使用を予定していた助成金の大半が未使用のまま残される事になった。これが、今回多額の次年度使用助成金が生じた主な理由である。
来年度には、研究協力者の Cristian Lenart 氏 (New York 州立大学) が一週間ほど日本に滞在して研究打合せを行う予定であり、その旅費・滞在費用として、次年度使用助成金及び翌年度分として請求した助成金を使用する予定である。また、コロナ禍もようやく収まって来た様子なので、来年度には海外での国際研究集会に積極的に参加する計画を立てている。そのための旅費にも、次年度使用助成金及び翌年度分として請求した助成金を使用する予定である。
|
