| 研究課題/領域番号 |
21K03200
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| 研究機関 | 新潟大学 |
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研究代表者 |
小島 秀雄 新潟大学, 自然科学系, 教授 (90332824)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | アフィン代数曲面 / 正規代数曲面 / 代数的トーラス作用 / 対数的小平次元 / 正規デルペッゾ曲面 |
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| 研究実績の概要 |
今年度はある種の非特異アフィン代数曲面とピカール数1の正規デルペッゾ曲面の構造について研究した。今年度に主に得られた成果は次の通りである。
高橋剛氏と共同で、ピカール数1の複素正規デルペッゾ曲面で高々対数的標準特異点を持つものについて開代数曲面の手法を用いて研究した。そのような曲面で商特異点でない特異点を持ち更にその極小特異点解消上に例外因子との交点数が1となる(-1)曲線を持つものを調べ、そのような曲面の非特異部分がaffine ruledとなることを証明した。更に、そのような曲面の部分的分類結果を得た。
代数閉体k上定義された、効果的な代数的トーラス作用を持つ非特異アフィン代数曲面で、ピカール群が有限で座標環の単元群が定数関数だけになるものを調べた。J. Rynes氏による代数的トーラス作用を持つ非特異アフィン代数曲面の構造に関する有名な結果を基礎として、そのような曲面を対数的小平次元を計算し、対数的小平次元が0以下になるものを全て決定した。座標環がUFDとなる場合にはそのような曲面はアフィン平面に限ることを証明した。これはアフィン平面の新たな特徴付けである。また、そのような曲面の対数的小平次元が0以上であることとその対数的2種数が正となることが同値であることを証明した。更に、アフィン偽平面で線形な無限遠境界を持つものは効果的な代数的トーラス作用を持つことを示した。これらの結果は基礎体kの標数が0の場合については知られていたが、kの標数が正となる場合にも成り立つことが示された。これらの結果については、論文にまとめ、投稿中である。
上記の他に、ヒルゼブルフ曲面上の有理曲線の補集合の対数的小平次元を調べたり、ピカール数1の正規有理曲面から曲線を除くことにより得られる開代数曲面の対数的多重種数について研究を遂行し, 部分的な結果を得た.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
今年度の研究計画では、主に「1. 対数的小平次元が0以下でピカール群が有限群となる非特異アフィン代数曲面で代数的トーラスの作用を持つものと対数的小平次元が0で座標環がUFDとなる非特異アフィン代数曲面の構造を調べる。」と「2. K. Palka氏の1/2極小モデル理論を習熟した後、それを用いて正規アフィン代数曲面の非特異部分の極小モデルを構成する。」を遂行する予定であった。この中で、1のテーマについては、順調に研究を遂行でき、更にそのような曲面の対数的多重種数に関する成果を得る等、当初予定していない成果も得られた。2については、1/2極小モデル理論を一般の開代数曲面に適用することが困難であることが判明し、当初予定していたよりも時間がかかることが判明し、当初の予定程研究が進展しなかった。しかしながら、ヒルゼブルフ曲面上の有理曲線の補集合の対数的小平次元に関する当初予期しなかった成果も得られた。以上のことから、おおむね順調に進展していると判断した。
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度の研究内容から、当初予定していた研究計画のうち、やや研究内容や研究方法に具体性が乏しかった部分を修正し、また、新たに研究するべき課題が見つかった。このため、研究実施計画を少し変更し、次年度は次のような課題について、研究を遂行する。
（１）ピカール数1の高々有理対数的標準特異点のみを持つ正規デルペッゾ曲面で、非特異部分がアフィン曲線上のファイバー空間の構造を持たないものを分類する。これについては、高橋剛氏や岸本崇氏と協力しながら研究を遂行する。
（２）ヒルゼブルフ曲面上の尖点有理曲線で、補集合の対数的小平次元が0となるものを分類する。可能ならば、対数的小平次元が－∞または1となる場合も調べる。
（３）アフィン平面の有限群商の極小コンパクト化で、対数的標準特異点のみを持つ場合と曲面の標準因子が数値的に自明になる場合を中心に、分類を遂行する。この研究では岸本崇氏と氏の元学生である澤原雅知氏（埼玉大学研究員）と協力しながら研究を遂行する。
（４）昨年度行った研究の延長として、ピカール数1の正規有理曲面から曲線を除くことにより得られる開代数曲面の対数的n種数が正となるnの値の範囲を調べる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
コロナ禍により、対面で開催する予定だった日本数学会がオンライン開催となったり、中止となった研究集会もあったことにより、183,274円を次年度に繰り越すことになった。繰り越した研究費については、研究集会の論文集と代数幾何関係の図書の購入と埼玉大学の研究者との研究打ち合わせに使用する。令和4年度は外国出張や海外の研究者の招聘はまだ難しい状況であるが、国内での学会や研究集会への参加と主催する研究集会での講演者の招聘、図書の購入、学術論文の掲載料（オープンアクセス化のための費用）に使用する。
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