| 研究実績の概要 |
前年度までに, 浅井L関数, およびRankin-Selberg L関数の周期積分の明示公式について研究してきた. とくに虚二次体上のGL(2)の浅井型の周期積分と, GL(3)×GL(2)のRankin-Selberg型の周期積分に良い類似を観察することが出来た. 中でも顕著な類似として, GL(2)の浅井表現の周期, およびGL(3)のWhittaker周期は, それぞれGL(2), GL(3)の標準表現に付随するDeligneの周期で書き下せることが挙げられる. そこで, GL(2)の場合に数論的性質がすでに詳しく調べられていることを鑑みて, 本研究ではまずGL(3)について, 詳しく研究を行った.
前年度までの研究では, GL(3)×GL(2)のRankin-Selberg型周期積分を考察するにあたり, GL(3), およびGL(2)の表現はともに尖点的なものに着目していた. ここで行った研究においてEichler-志村同型を具体的に書き下していたことの類似として, 本研究ではGL(3)の場合にEisensteinコホモロジー類の構成に着目した. Harder-Raghuram(2020)によるGL(n)のEisensteinコホモロジー類の構成を精査すると, やはり無限素点における局所積分の明示公式については, 得られていない状況であった. そこでEisensteinコホモロジー類に関する周期積分, 有理性や, より強く整性を調べるため, Kostantによる境界コホモロジーの記述, および前年度までに行ったGL(3)上の局所系の記述を比較した. 現状では有理性などの結果はまだ得られていないものの, 明示的な構成のための道筋を確かめることが出来た. とくに周期積分や, その数論的な性質は今後の課題と考えている.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
現状, 具体的な結果は得られていないものの, 前年度の研究について論文の執筆中であるということ, また前年度の研究が本研究の基礎にもなっていること, Eisensteinコホモロジー類の明示的な構成方法に道筋を与えられたことを考えれば, 進捗状況としては「おおむね順調」とするのが妥当であると考えている.
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続きEisensteinコホモロジー類の明示的構成を行う. また上記以外にも, GL(2)の方をEisensteinコホモロジーとした場合などの周期積分についても, p進L関数の構成への応用を見込んでいる. そのため引き続きGL(3)×GL(2)の周期積分に着目していく.
上記の研究の方向性に加え, その他のタイプの周期積分についても研究を行っていく. とくに岩澤主予想のような周期積分のp進族に関する研究においては, Kummer型の合同式など, 周期積分の整性が欠かせない. 前年度までにGL(n+1)×GL(n)の周期積分の整性を行ったが, これの類似として周期積分の整性がどこまで調べられているか情報収拾を行っていく. 現状では, GL(n)×GL(n)の周期積分についても, 明示公式や有理性, 整性が議論出来るのではないかと期待している.
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