| 研究課題/領域番号 |
21K03223
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
岩井 敏洋 京都大学, 情報学研究科, 名誉教授 (10021635)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | Born-Oppenheimer / Jahn-Teller effect / bulk-edge correspondence / Dirac operator / second Chern number |
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| 研究実績の概要 |
研究実施計画で述べたように、Born-Oppenheimer の断熱近似による分子の量子力学について、特に動的 Jahn-Teller 効果を、原子核の形状空間上のファイバーバンドルの観点から研究した。原子核の形状空間上で定義される電子の実効的ハミルトニアンの固有空間をファイバーとするファイバーバンドル(スペクトラル・バンドル)には、原子核の運動と電子の相互作用を表す(べりー)接続が自然に定義され、それを用いて原子核の運動エネルギ作用素が構成される。電子の実効的ハミルトニアンの固有値を、原子核の形状空間上のポテンシャル関数として、先の運動エネルギー作用素に加えて、分子のハミルトニアンが決まる。特に、平面３原子分子では、簡単な電子の実効的ハミルトニアンを設定することで、分子のハミルトン方程式を解くことができる。その固有値は、チャーン数に依存することを示した。これは、動的 Jahn-Teller 効果の一般化と考えることができる。
また、いわゆる bulk-edge 対応についての研究も進んでいる。パラメータをもつ量子系の固有値のパラメータ依存性と、対応する半量子系の第２チャーン数のパラメータ依存性との間の対応を研究した。これを bulk(半量子系)-edge(量子系)対応といい、特別な場合には Dirac 作用素の指数定理に結び付く。具体的には、半径の異なる２次元球面２個の直積空間上の階数２のベクトルバンドルの第２チャーン数と、２つの角運動量作用素からなる、4x4 行列の形の作用素の固有値についてのスペクトル流の関係を調べた。その結果、bulk-edge 対応がうまく成り立っていることが示せた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究はおおむね順調に進んでいるが、当初予想していたよりはおおくの関連する論文にあたる必要が生じたため、研究成果を論文の形にまとめるのに時間がかかっている状況である。また、COVID-19 のため、インターネットを通して議論はしているものの、研究交流が思い通りに進まないこともあり、まとめに若干の遅れが生じている。
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| 今後の研究の推進方策 |
進捗状況の項でも述べたが、ここまでの研究成果の取りまとめに思った以上に時間がかかっているので、速やかにまとめて次の課題に進みたいと思っている。また、研究成果のところで述べたテーマである、Born-Oppenheimer 近似に基づく分子の量子力学について、ファイバーバンドルの観点からの研究をさらに具体的にすすめること、さらに bulk-edge 対応のいろんな現れ方を具体的に明らかにすることが今後の目標である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
COVID-19 の影響が昨年度にまで及んで、共同研究や研究会参加のための出張旅費が使えなかったので、予算の執行が進まなかった。今年度は海外出張が緩和されると期待していたのだが、不穏な世界情勢のために出張に制限がかかるかもしれないかと危惧している。国内出張については、対面の研究集会が再開されれば、予算を大いに活用したいと思っている。
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