| 研究課題/領域番号 |
21K03229
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| 研究機関 | 東京都立大学 |
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研究代表者 |
久本 智之 東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (00748345)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| キーワード | ファノ多様体 / ケーラー・アインシュタイン計量 / 安定性 / モンジュ・アンペール方程式 |
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| 研究実績の概要 |
Kahler-Einstein 計量と呼ばれる標準的なKahler計量と代数多様体の安定性との関係は重要な問題である。現在は幾何学的フローや幾何学的量子化の視点からこれらの問題にアプローチしている。
今年度の前半では、ベクトル束のHermite自己準同型に対し定義されるDonaldson汎関数に関する研究を行った。Donaldson汎関数を滑らかでない自己準同型まで拡張したとき、その最小点がHermite-Einstein計量を与えるかは明らかでない。しかし、もし最小点が自動的に滑らかになるのであれば、最小点の存在とDonaldson汎関数の強凸性が同値であることが示せた。このアイデアはKahler-Einstein計量に対するDarvas-Rubinsteinのアイデアに基づいており、Kahler-Einstein計量の研究に用いられたアイデアが様々な対象に適用できることを示している。
今年度の後半では、Kahler-Ricci流とその代数幾何学的な対応物である最適退化について、いわゆる「幾何学的量子化」を用いてこれらを漸近的に構成する研究を行った。Kahler計量全体が成す無限次元空間は、大域切断に対するHermite内積全体が成す有限次元空間でよく近似できることが知られている。Kahler-Ricci流は前者の空間上の曲線と見なせ、エントロピー汎関数を減らす方向に流れていく。我々は後者の空間におけるKahler-Ricci流やエントロピー汎関数の対応物を定義し、それが類似の性質を満たすことを観察した。また、これらの対象の代数的な対応物として、同じ大域切断に対する非アルキメデス的な計量であってしかるべき汎関数を最小化するものを考察した。これは最適退化の有限次元における対応物と見なせる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
Donaldson汎関数に関する研究は一定の成果があったが、同年にJonsson, Mccleerey, Shivaprasadらがより決定的な結果を得た。
Kahler-Ricci流および最適退化の幾何学的量子化については期待していた対応物を見出せたが、該当する研究論文をまだ発表できていない。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は最適退化の幾何学的量子化についてさらに研究を進める。特に、幾何学的量子化の観点から得られた有限次元版の最適退化が元の最適退化を近似しているかどうかに興味がある。一方で、有限次元におけるエントロピー汎関数の対応物が導入できたので、これを用いてKahler計量の空間の幾何学の有限次元類似を詳細に調べてゆく。特に、申請書で述べたような分配関数に纏わる計算を計画している。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
コロナ禍に伴う海外出張の減少により、旅費相当額を次年度に持ち越す。
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