| 研究課題/領域番号 |
21K03232
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| 研究機関 | 工学院大学 |
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研究代表者 |
菊田 伸 工学院大学, 教育推進機構(公私立大学の部局等), 准教授 (40736790)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| キーワード | ケーラー・アインシュタイン計量の体積増大度 / ケーラー・アインシュタイン計量の境界に沿った留数 / 対数的標準束の正値性の退化 / 境界の小平次元 / 一般化されたケーラー・アインシュタイン計量 / ジーゲルモジュラー多様体のトロイダルコンパクト化 / トーラス・ファイブレーション / カラビ・ヤオ境界とリッチ平坦計量 |
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| 研究実績の概要 |
対数的標準束が正値性を持つ滑らかな準射影代数多様体上において, リッチ曲率が負の概完備ケーラー・アインシュタイン計量の存在が, 板東, Tian-Yau, 小林亮一氏らによって証明された. その正値性は境界上では退化することが許されるため, その退化が計量の境界挙動へ及ぼす影響を決定することは興味深い問題である. それに答えを与えるため, 体積増大度予想「体積形式の対数部分の冪に境界の小平次元が関わる」, 留数予想「計量の留数が一般化ケーラー・アインシュタイン計量に一致する」という2つを申請者が提案した. それを解決することが本研究の目的の１つである.
昨年度は, 境界の(対数的)小平次元が中間の場合の具体例である, ジーゲルモジュラー多様体のトロイダルコンパクト化に対して, 2つの予想を示すためのアイデアの着想を得た. それは合同部分群問題の解決を用いて, 一般の算術群の場合を主合同部分群の場合に帰着することである. 主合同部分群の場合はW. WangやYau-Zhangの計算を応用することで, 以前に既に解決できていた. 今年度は, このアイデアから正確な証明を構築することに集中し, 完成させることが出来た. 佐竹コンパクト化への標準的な写像を通して, 境界には低次元のジーゲルモジュラー多様体上のトーラスファイブレーションの構造が入る. その得られた結論を述べると, 体積増大度予想に関しては「体積形式の対数部分の冪に, 低次元ジーゲルモジュラー多様体の次元が現れる」である. ここでは低次元ジーゲルモジュラー多様体の次元が(対数的)小平次元と見做せる. 留数予想に関しては「留数は低次元ジーゲルモジュラー多様体のケーラー・アインシュタイン計量の(明示的な)定数倍と一致する」を示した. この定数倍によって, この計量は一般化ケーラー・アインシュタイン計量となっている.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
ケーラー・アインシュタイン計量の境界での振る舞い, 特に留数または体積増大度を, 対数的標準束の正値性の境界に沿った退化の観点で解析することが本研究の目的の一つである. 解析的および代数的に退化度を示す尺度として, 一般化ケーラー・アインシュタイン計量及び小平次元がある. それぞれを境界挙動と関係付ける上述の2つの予想解決を目標に今年度研究を行ってきた.
これまでの申請者の研究において, 境界の小平次元が最大(境界が一般型), 最小(境界がカラビ・ヤオ) , そして(対数的)中間小平次元の例であるジーゲルモジュラー多様体のトロイダルコンパクト化の場合は, 予想が正しいことを示す次の結果を得た.「境界が一般型であることの体積増大度による特徴付け」, 「境界がカラビ・ヤオである場合の体積増大度の決定」, 「境界がアーベル多様体である場合のリスケールした留数の決定」, 「ジーゲルモジュラー多様体のトロイダルコンパクト化に対する誘導されたベルグマン計量の留数と体積形式の計算」. これらは今年度論文にまとめ, 雑誌に投稿済みである.
一般算術群によるジーゲルモジュラー多様体のトロイダルコンパクト化に対して, 留数と体積形式の計算が正確に実行でき, これによって中間小平次元の場合の予想の信憑性を高めた. 一般の設定においては, Tosatti-Weinkove-Yangなどの結果を鑑みて, ケーラー・リッチ流との類似性を見出すことを試みたが, 彼らの結果を充分に理解することが出来ず, 成果を上げることが叶わなかった. ただ, カラビ・ヤオ境界のときの体積増大度を決定する際に, ケーラー・リッチ流による近似の手法を用いたが, その証明が非常に見通し良かったと感じている. 故に, 彼らの結果の理解は, 我々の境界挙動への証明を見出す可能性を秘めていると思われる.
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| 今後の研究の推進方策 |
上述の投稿した論文において, カラビ・ヤオ境界のときのケーラー・アインシュタイン計量の体積増大度を決定している. 逆にこの増大度を持つときの境界はカラビ・ヤオになるのではないかと推測しているため, それを明らかにしたい. 境界が一般型の場合は, 同様の結果を同じ論文で証明している.
同論文のもう一つの結果として, 境界がアーベル多様体の場合にリスケールした留数が(リッチ)平坦計量になることを示している. 今後はこの結果から派生した問題を考察する予定である. 例えば一般のカラビ・ヤオ境界の場合には同じ結果が成り立つかは現時点で不明であるので, それを明確にしたいと考えている. ただし, この場合は有限幾何の状況ではないことを同じ論文内で確認しているため, 対応する複素モンジュ・アンペール方程式の解析の一般論が整備されていない. 一方で, 半豊富な標準束を持つ射影多様体上のケーラー・リッチ流の時間無限大の挙動について, Tosatti-Weinkove-YangとTosatti-Zhangは解の低階評価に成功しており, 彼らの技法の中からこの問題にも有効なものを見つけ出すことを考えている. 更に, それを足がかりにして, 体積増大度の予想と留数の予想を中間小平次元でも解決したい. 一般には困難と思われるので, 中間小平次元のモデルケースであるジーゲルモジュラー多様体のトロイダルコンパクト化に対して詳細な性質を見出すことも並行して行う予定である. 例えば, 今年度の考察とW. WangやYau-Zhangの結果を組み合わせて, 適切な対数的発散項でリスケールした留数を計算し, 境界のトーラスファイブレーション構造に関する半平坦計量との関係を見出すことを目論んでいる.
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| 次年度使用額が生じた理由 |
今年度はまず上述の論文作成に中心的に時間を費やした. 論文内の2つの結果の証明を文章に起こす際にギャップを見つけてしまった. 幸い深刻なものではなかったが, それを埋める作業に手間を要することになり, 想定していた以上に集中して論文作成に取り組むことになった. 故に, 研究情報の収集目的で参加予定だった関連するセミナーや研究集会への出張旅費として, 想定の予算を使用しなかった. 新型コロナウイルスの感染拡大の影響により, ハイブリット開催が多くなったため, いくつかオンラインで参加することも多かった. また, 他グループに近い結果が発表されている状況だったので, 早急の論文完成のため, 新しく作成用PCに予算を割かず既にあるもので間に合わせてしまった.
次年度の使用計画として, まず今年度得た成果を発表するため, 講演出張のための旅費, オンライン及び現地で講演するための機材, そして論文作成や参考文献を調べるために使用するPCやその周辺機器の購入などとして予算を執行する. また本研究に必要な最新の情報収集のため, 関連する内容の研究集会・セミナーに現地で積極的に参加し, 複素モンジュ・アンペール方程式とケーラー・リッチ流の解析の手法や, 複素幾何の最先端の研究を学んだり, 国内外の専門家の方々と意見を交換する予定である.
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