| 研究課題/領域番号 |
21K03236
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| 研究機関 | 明治大学 |
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研究代表者 |
長友 康行 明治大学, 理工学部, 専任教授 (10266075)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | ベクトル束 / グラスマン多様体 / 調和写像 / モジュライ空間 / ゲージ理論 |
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| 研究実績の概要 |
今年度は、グラスマン多様体への調和写像に関する一般論を深化させ、そのモジュライ空間の一般的な記述に成功した。すでに得られていた結果をまとめた論文を再編集し、新たな結果を合わせ、論文として投稿した。
高橋の定理とdo Carmo-Wallach（DW）理論の一般化を基盤とする本理論ではあるが、終域が球面の場合を対象とするオリジナルのDW理論と本質的に異なる現象が出現することが明確となった。これを理解するには、DW理論の一般化のために筆者が定義した「ゲージ同値性」による調和写像のモジュライ空間に、グラスマン多様体の普遍商束の引き戻し束上に誘導された接続のホロノミー群に対するベクトル束の構造群内における中心化群が作用することを前提とする必要がある。このこと自体はすでにわかっていたが、さらにオリジナルのDW理論で採用されていた「像同値性」の精密化の可能性が浮上した。その結果、一般論として、像同値性による調和写像のモジュライ空間がゲージ同値性によるモジュライ空間の上記した中心化群の作用による商空間であることを確立することができた。終域が球面の時にはホロノミー群も中心化群も自明となるため、この群作用を考慮する必要性はなく、その結果像同値性、ゲージ同値性によるモジュライ空間は一致する。そればかりではなく自然な位相によるコンパクト化を考えると、モジュライ空間の境界の点は他とは像同値ではない、より低次元の球面への調和写像に対応することがわかる。ところが一般には、境界にも中心化群が作用し、モジュライのコンパクト化の幾何学的意味が異なり、全測地的部分多様体であるグラスマン多様体を合わせて考える必要があることも理解できた。その結果、コンパクト化されたモジュライ空間の階層の重要性を認識できたことから、ある調和写像の「系列化にある調和写像」という概念を引き出すことに成功した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
リーマン多様体からグラスマン多様体への調和写像に関する微分幾何学では、昨年度までの研究においても、高橋恒郎の定理の一般化に始まり、do Carmo-Wallach理論の一般化にまで至り、調和写像のモジュライ空間の構造の解明に、ベクトル束の果たす役割を明確にできたと自負していた。しかし、さらにこれらの理論を深化させ、誘導接続のホロノミー群および、引き戻しベクトル束の構造群内での中心化群の役割を明確に取り出し、「ゲージ同値によるモジュライ空間」から「像同値によるモジュライ空間」がその商空間として得られるという一般的記述が出来たことは、本研究の順調な進展を表していると言える。
また、この理論の具体的な例への応用も今までと同様に多数得られた。高橋の定理やdo Carmo-Wallach理論が長期間にわたって一般化されなかったことを考慮しても、一般的な結果はもとより、個々の具体的な研究においても成果を出すことが、本研究課題の順調な進展を示していると思われる。
次に、先行研究においては、定義域となるリーマン多様体が実2次元である場合の結果がほとんどであったが、これは定義域が実2次元のときのみに通用する理論が存在したためであった。しかし本研究課題で得られた理論は、定義域の次元にとらわれることなく展開可能なため、次元の高いコンパクト型エルミート対称空間から複素2次超曲面への正則等長写像の分類も得ることが出来た。これも昨年度までに行った複素射影空間からの正則等長写像の分類の一般化であり、本研究課題の進展を具体的に示していると言えるであろう。
また、これらの成果を順次論文として発表していることも、順調な進展の理由となると思われる。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後も、高橋恒郎の定理の一般化、do Carmo-Wallachの理論の一般化による調和写像の研究を推進する予定である。
とくに、高次元の球面から複素射影空間や複素2次超曲面への調和写像や、複素射影空間から四元数射影空間への調和写像など、正則写像ではない調和写像にも本理論を適用していきたい。
また、引き続き正則写像に関するCalabiの剛性定理の一般化から得られる、コンパクト型エルミート対称空間から、複素2次超曲面や複素グラスマン多様体への正則等長写像、及びその一般化として、旗多様体からの正則等長写像の分類も視野に入れる予定である。複素射影空間への正則等長写像に関しては優れた研究が多数存在するのに対して、複素2次超曲面や複素グラスマン多様体への正則写像の研究が少ないことから、これらの研究に対しては困難も予想されるが、ベクトル束とその接続に注目する本理論を適用すれば、この研究課題も有望であると思われる。
最後に、ベクトル束にはHermitian-Yang-Mills接続に代表される特殊な接続を許容するベクトル束が存在するが、これらと正則写像、調和写像の具体的な関係を見出したい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
コロナ禍および円安のため、計画していたスペインにおける共同研究が行えなくなり、旅費、人件費・謝金が計画と異なったためである。引き続き、共同研究を実施するために使用したいと考えている。これはオンラインでの研究等を推進するための物品費も含んでいる。
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