| 研究実績の概要 |
4次元空間の中の曲面(曲面結び目)を表す表示方法として、平面上の向きとラベル付いたグラフ、chart というものが定義されている。この研究は, chart を使って、曲面結び目の分類表を作成することを目的とする。手法は,コンピュータで効率よく不変量を計算し,候補を見つけ,理論的に証明することである。同じ曲面結び目を表す chart が幾つかあれば、分類表には、形が単純なもの(crossing と呼ばれる次数4の頂点の数が小さいもの)、minimal chart を載せることにする。
4-chart で crossing が2個のものは、具体的な chart の形を以前求めていた。その中でも black vertex が8個である 4-chart は無限個あり、T_0, T_1, T_2, …, T_k, … と T_1^*, T_2^*, …, T_k^*, … がある。chart T_0, T_1, T_3, …, T_{2k-1}, … が互いに異なる chart であると去年示した。論文にも書き上げ、出版もされた。T_0 は minimal chart であることが、double linking number を使って示せる。T_1, T_3, …, T_{2k-1}, … が minimal chart であるかはまだ分かっていない。今年度は、double linking number や去年使用した quandle を使って不変量を計算したことである。期待した結果は残念ながら得られなかった。しかし、minimal chart であることが示されれば、初めて無限個の chart を分類表に載せることが出来、面白い結果まで後一歩である。quandle の表を6個の元までしか知らなかったが、もっとあることを知ったので、次は新しい quandle について計算を行いたい。
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