| 研究課題/領域番号 |
21K03259
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| 研究機関 | 早稲田大学 |
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研究代表者 |
小島 定吉 早稲田大学, 理工学術院, 教授(任期付) (90117705)
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| 研究分担者 |
山下 靖 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (70239987)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 双曲幾何 / 曲面 / タイヒミュラー空間 / 擬アノソフ写像類 / 写像トーラス / 3次元多様体 |
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| 研究実績の概要 |
本研究は，曲面の擬アノソフ写像類の数多くある不変量を比較することにより，曲面および3次元多様体の研究に貢献することが目的である．2次元と3次元を結びつけるルートとして，サーストンによる擬アノソフ写像類の写像トーラスには双曲構造が入るという事実がある．本研究の出発点は，以前にMcShane氏との共同研究で得られた，擬アノソフ写像類のエントロピーとその写像トーラスの双曲体積との間の明示的不等式である．
アノソフ写像類のエントロピーは，タイヒミュラー空間のタイヒミュラー計量に関する移動距離と同一視できる．そこで当初は，タイヒミュラー空間上の，たとえばベイユ・ピーターソン計量などの各種の既存の距離に関する移動距離と，写像トーラスの体積等の幾何学的不変量との関係を模索したが，本報告書提出時点では未だ具体的成果に結びついていない．
一方，研究開始直後に思いもかけず，正井秀俊氏（東工大）が移動距離が写像トーラスの体積に一致するようなタイヒミュラー空間上の距離を，擬フックス群の繰り込み体積とグロモフのホロ関数を使って定義した．我々の不等式は，タイヒミュラー距離から定まるエントロピーと写像トーラスの体積を繰り込み体積を媒介に結びつけたものだが，繰り込み体積から出発し移動距離が体積に厳密に対応するタイヒミュラー空間上の距離を探すという正井氏の発想は予想外であった．それゆえ正井の話を聞いた時から，我々の研究との結びつきの詳細を検討を続けている．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
目的を達成するため，当初は既存の不変量の間の関係を，既存の不変量を出す枠組みの下で精密化することを念頭に置いていた．ところが概要で記した正井氏の仕事は，精密化された関係を導くタイヒミュラー空間上の距離を求めるというインパクトの大きいもので，当初念頭に置いていた研究計画を，正井氏が定義した距離の詳細の解析にシフトした．そのため今年度中には直接的な成果が得られておらず，進捗状況は「やや遅れている」と判断した．しかしながら，研究はやや状況が変わって進んでおり，近い将来展開が見出せるものと期待している．
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| 今後の研究の推進方策 |
当初の計画に加え，当面は概要に記した正井秀俊氏が定義したタイヒミュラー空間上の距離の理解を深める必要がある．この距離はフィンシュラーであるかも分かっておらず，課題が山積しており，本研究では喫緊の課題と位置づける．さらに，他のタイヒミュラー空間上の距離とそれらから導出される不変量の間の比較を試みることを計画している．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
今年度はコロナ禍により，計画していた研究出張，研究者招へい，研究集会の開催等が中止あるいはオンライン化されたため，主に旅費支出が大幅減となった．
来年度は分担者を1名追加し，当初計画に加え，新分担者の下で研究者を1名雇用する．
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