| 研究課題/領域番号 |
21K03271
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| 研究機関 | 島根大学 |
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研究代表者 |
中西 敏浩 島根大学, 学術研究院理工学系, 教授 (00172354)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | タイヒミュラー空間 / クライン群 / リーマン面 / 双曲幾何学 |
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| 研究実績の概要 |
種数２の閉曲面のタイヒミュラー空間の大域座標系を用いた写像類群の研究をおこなった。双曲閉曲面上の閉測地線の長さはタイヒミュラー空間上の関数（測地的長さ関数）を定める。種数g>1の双曲閉曲面のタイヒミュラー空間は6g-5個の測地的長さ関数の組による座標系を許容するので，g=2の時は７個の測地的長さ関数によるタイヒミュラー空間の大域座標系が存在する。これら７個の測地的長さ関数が双曲曲面を一意化するフックス群(曲面の基本群の忠実かつ離散なPSL(2,R)表現)を共役の違いを除いて復元するが，そのフックス群を具体的に求める研究は多くのタイヒミュラー空間の研究の中でも欠如していた。研究業績の一つは，適切に選んだ７個の測地的長さ関数からフックス群の生成系の行列表現を求めたことである。さらにこの測地的長さ関数の座標系を用いて写像類群のタイヒミュラー空間上の作用が有理変換で表されることを示した。アールフォルスやベアスらによる研究で明らかになったようにタイヒミュラー空間とクライン群(PSL(2,C)の離散部分群)および双曲３次元多様体とは密接につながっている。円周上の曲面束の構造をもつ双曲３次元多様体は曲面群のベアス埋込みを用いた擬フックス群表現の空間の境界にあり，擬アノソフ的写像類の不動点を用いて構成される。私たちは上で述べた測地的長さ関数を複素化して曲面の基本群のPSL(2,C)表現の空間の座標系に拡張し，そこでも写像類群が有理変換群として作用することを用いてこのような双曲３次元多様体の例を見つける研究をおこなった。現在，その一例と考えられるものについて計算を行なっている。その群の元は16次の代数的数を原始元とする代数体に成分をもつSL(2,C)の行列であり，コンピュータによる数式処理を援用しても計算が大変であったが，もっとも困難な離散性の判定については最終段階に入っている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
円周上の閉曲面束の構造をもつ３次元双曲多様体を一意化するクライン群の例を見つけようと計算している。群の離散判定に時間がかかり，まだ論文が完成していない。その他に一つ穴あきトーラス群のSL(2,C)表現の空間に作用する双曲的写像類の安定多様体を見つけようと研究をおこなっているがまだ計算を終笑すことができていない。
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| 今後の研究の推進方策 |
円周上の閉曲面束の構造をもつ３次元双曲多様体を一意化するクライン群の例については，現在計算しているものについてはまもなく完成する予定で現在論文を執筆中である。この計算で得られた数式処理用プログラムやノウハウを他のクライン群の例の発見に結びつける。また論文完成後，ただちに一つ穴あきトーラス群のSL(2,C)表現の空間に作用する双曲的写像類の安定多様体の計算を再開させる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
コロナ禍で延期となった日本数学会主催の研究集会「New Aspects of Teichmuller Theory」に合わせて研究打ち合わせを行なう予定の外国人研究者を次年度に再度招聘するために旅費を使用する。その他にRiemann面論に関する研究打ち合わせのためにスペインから研究者を招待する予定である。
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