2021 年度実施状況報告書

エネルギー交差によって生ずるスペクトル・散乱問題の準古典解析

研究課題

研究課題/領域番号	21K03282
研究機関	立命館大学
研究代表者	渡部拓也立命館大学, 理工学部, 准教授 (80458009)
研究期間 (年度)	2021-04-01 – 2024-03-31
キーワード	エネルギー交差 / 準古典解析 / 遷移確率 / 固有値・レゾナンス / 完全WKB解析 / 準古典超局所解析
研究実績の概要	本研究課題では「交差する２つの井戸型ポテンシャルの生成する固有値」及び「エネルギー擬交差間の遷移確率の断熱極限」の２つをテーマに研究を行うものである。前者は愛媛大学の樋口氏（当該年度においては立命館大学）及びAssal氏（チリ・カトリック大学）との共同研究で、後者パリ13大学のZerzeri氏との共同研究である。当該年度においては、主に後者のテーマについて進展を得た。この課題は、時間依存シュレディンガー方程式をモデルとした連立の常微分方程式系について、断熱パラメータのみならず、擬交差のギャップも小さなパラメータとした2パラメータ問題である。擬交差のもととなるエネルギー交差の局所的な性質（交差点での傾きや交差点の個数）が、遷移確率の断熱極限にどのように現れるかを解析することが目的である。この遷移確率の断熱極限の主要部は、完全WKB法を通して、変わり点を通るストークス曲線の幾何学的構造によって特徴づけられることが知られているが、2パラメータ問題としてみると、ストークス曲線の幾何学的構造のみならず、変わり点の合流過程も重要な役割を果たすことが予想されている。昨年度、エネルギーが線形交差を複数回起こす場合、その擬交差間の遷移確率について、ひとつの結果を得ることに成功し、学術雑誌に掲載されるに至った。当該年度に考察したのは接触交差モデルに関してであり、線形交差モデルとは変わり点の合流過程の点で大きく異なる。完全WKB法が適用できないケース（断熱パラメータより擬交差ギャップを表すパラメータが小さいケース）では既存の標準形理論は存在しないが、もう一方の研究課題で用いた手法に帰着させることを目論み、解決の糸口を得た。これについては、神楽坂解析セミナー（東京理科大学）にて、発表した。また前者については、立命館大学の樋口氏とともに単純なモデルについての考察を行い、いくつかの見通しを得つつある．
現在までの達成度 (区分)	現在までの達成度 (区分) 2: おおむね順調に進展している理由自己点検評価として「おおむね順調に進展している。」と判断した理由は、２つの研究課題について、論文として公表するまでには至っていないが、それぞれについて基本的なモデルに関する考察を経て、解決の見通しを得たことにある。 1つ目の課題である「交差する２つの井戸型ポテンシャルの生成する固有値」については、本研究課題の成果及び共同研究者の樋口氏ら結果を応用することで、固有値の分裂現象などを詳細に解析できることが分かった。また2つ目の課題である「エネルギー擬交差間の遷移確率の断熱極限」においては、当該年度において線形交差モデルの解析について解決に至り、次のフェーズである接触交差モデルの解析に移行し、懸案であった交差点での局所解の構成について概ね解決に至ったということである。昨年に続くコロナ禍により、Zoomによる議論も活用できるものになったものの、膝を突き合わせ黒板を介して議論する共同研究の機会に恵まれなかったが、一定の結果に至ったことを鑑みて、ポジティブな評価に値すると考える。
今後の研究の推進方策	「エネルギー擬交差間の遷移確率の断熱極限」に関しては、Zerzeri氏（パリ１３大学）さらには樋口氏（愛媛大学）ともに、接触交差するモデルについて考察する。断熱パラメータが擬交差ギャップを表すパラメータに比べ非常に小さいときは、自身の先行研究により完全WKB解析で明らかになっているが、パラメータの関係が逆転する場合については、未解決である。これについて既存の結果はないが、藤家-Martinez-渡部の先行研究で得られたアイデアを援用することで解決できる見通しが得られた。さらには、この問題の物理的な位置づけや３準位系への拡張を含め、首藤氏（東京都立大学）の知見を仰ぐ。また、接触次数が高次まで退化した場合について、Assal-藤家-樋口の最新の結果を適用することを、樋口氏らと行い、特に樋口氏、Assal氏とともに「交差する２つの井戸型ポテンシャルの生成する固有値」について共同研究を進める。
次年度使用額が生じた理由	国際共同研究として、Zerzeri氏（パリ13大学）との断熱遷移確率のプロジェクト、及びAssal氏（チリ・カトリック大学）及び樋口氏とのプロジェクトが進行中である。そのための旅費及び招聘費としての使用を予定していたが、コロナ禍による渡航自粛・渡航制限により、不使用になってしまったため次年度使用額が生じた。また、例年3月上旬に開催している偏微分方程式姫路研究集会は、昨年に引き続きオンラインによる開催となり、オンライン上の研究討論スペースの使用料といったハード面の使途はあったものの、こちらも講演者に用意していた旅費などソフト面の使途がなくなり、大幅な残額が生じることになった。