| 研究実績の概要 |
今年度は、平坦構造と呼ばれる幾何構造についてそのプレポテンシャルを持たない場合への一般化、および線形微分あるいは差分方程式のとの関係についての研究を行った。今年度の研究成果について述べる。
1)本研究課題の最も主要なテーマである平坦構造について「拡張大久保型方程式」と呼ばれる線形偏微分方程式の観点から理論を展開するような内容の専門書の執筆を行った。この原稿を書き進める過程で「Okubo-Saitoポテンシャルの空間」という新しい概念が発見された。そこで「Okubo-Saitoポテンシャルの空間」を用いた理論構成を中心とする形に原稿の構成を書き改めた。「Okubo-Saitoポテンシャルの空間」は原始形式の積分からなる関数空間を一般化した概念であり、今後様々な方向への応用が期待できる。
2)平坦構造とその「Okubo-Saitoポテンシャルの空間」についていくつかの具体例について考察を行った。例えば、これまでの研究においてパンルヴェ方程式の解と3次元平坦構造が対応するという結果が得られているが、この対応に対して、今年度新しく得られた理論構成を適用してみると、パンルヴェ方程式の解に対応する平坦構造の下部構造に当たる 3つ組(M,D,Δ)が、パンルヴェ方程式の解の不変量を与えることが分かった。パンルヴェ方程式の解をこの不変量の立場から研究することは大変興味深い問題である。それと同時に、パンルヴェ方程式より(真に)簡単なガウスの超幾何方程式の場合に 3つ組(M,D,Δ)を正確に求め、Okubo-Saitoポテンシャルの空間を求めてみた。これは今後パンルヴェ方程式の超越解の研究を行う際に重要な指針を与える例となるであろう。
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