| 研究実績の概要 |
伝播速度が等しいu, vと伝播速度がこれらとは異なるwという三つの成分からなる半線形波動方程式系の初期値問題を空間3次元の場合に考察した. (a) 同一の伝播速度だけを持つ成分から成る系については, Klainermanのnull conditionが満たされるとき, なめらかで小さな初期値に対する時間大域解の一意存在がよく知られている. (b) また, 伝播速度がすべて異なるような成分から成る系については, 横山条件が満たされているとき, なめらかで小さな初期値に対する時間大域解の一意存在が知られている. 今回研究したのは, この(a)にも(b)にも該当しない場合であり, space-time resonance methodを駆使したPusateri-Shatahの先行結果がある. Klainermanのnull conditionが満たされない項が含まれるせいで, time decayが悪くなる成分が含まれてしまうことが解析を難しくしている. 言い換えると, 問題を興味深く, 挑戦する意義があるものにしている. Pusateri-Shatahが時間大域解の存在証明のために課した条件の一つが, 減衰が悪い成分は（取扱いが容易であろうと考えられる）3次以上の項にのみ含まれるということであった. 取扱いが難しくなると考えられる2次の項にそのような成分が含まれることを許容できるかどうかは未解決であったが, 本研究課題の研究代表者と分担者らにより, そのようなことが許容できるという部分的解答は得られていた. 今回は, その部分的解答中に課されていた条件をもっと自然なものに緩めることを調べた. 先の部分的解答を与えた論文での方法とは別に, 解の導関数の各点評価を用いる方法を使うことで道が拓けそうなところまで研究が進んだ.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
私たち自身の先行結果で課されていた条件を緩めることは難しいと思っていた. そこではKlainerman-Siderisの方法を用いていた. この方法は基本解の各点評価を回避できて簡便であるという利点がある. 他方で, 導関数のpoint-wise decayが悪くならない（はず）の成分のdecay estimateを得るために, その成分のエネルギーや関連する重み付き2乗可積分空間のノルムを時間変数に関して一様に評価してから, ソボレフ型不等式やトレース型不等式を通じて各点でのdecayを得ていた. 今回考察したような, 挙動が悪い成分を含むような問題を考えるに当たっては, このステップで余計なことをしていたのかもしれない. KovalyovやAgemi-Yokoyamaの論文のように, 基本解を通じた解の導関数の各点評価を伝播速度の差異に注目しながら行って, エネルギーは時間に関して多少の増大を許す方法から新しい知見が得られるかも知れないというところまで研究が進んだ.
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| 今後の研究の推進方策 |
繰り返しになるが, KovalyovやAgemi-Yokoyamaの論文のように, 基本解を通じた解の導関数の各点評価を伝播速度の差異に注目しながら行って, エネルギーは時間に関して多少の増大を許す方法でどのような結果が得られるのか, 研究分担者との議論を通じて解明していく.
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