| 研究課題/領域番号 |
21K03334
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
塩谷 真弘 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (30251028)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 数理論理学 / 公理的集合論 / 無限組合せ論 / 巨大基数 / 強制拡大 / 崩壊代数 / 飽和フィルタ |
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| 研究実績の概要 |
公理的集合論における重要なテーマに、小さな無限基数が非常に強い組合せ論的性質を持つようなモデルを構成する問題がある。そのようなモデルは通常、巨大基数が存在するモデルから出発して、崩壊代数によって巨大基数を小さな基数に崩壊させた強制拡大として得られる。また、巨大基数が強い意味での極大フィルタの存在で特徴付けられることから、小さな無限基数が持つべき強い組合せ論的性質として、極大性を弱めることによって得られる、種々の飽和性を持つフィルタの存在が考えられてきた。
本研究では、膨大基数を後続基数に崩壊させて強い意味での中心的フィルタが存在するモデルが得られた。ForemanとLaverによる先行研究では、中心的フィルタのモデルのために、Silverによる崩壊代数の入れ子積を元にKunenの手法によって構成された崩壊代数が用いられた。Kunenの手法では、広義の無限反復強制法が使われる。本研究では、Levyによる崩壊代数の入れ子積の２回反復強制法で十分であることを示し、先行研究での構成を大幅に簡易化することができた。
本研究で用いた崩壊代数が有向閉の性質を持つことから、Laverによるモデルから出発することにより、超コンパクト基数の後続基数に中心的フィルタが存在するモデルを構成することができる。超コンパクト基数を特異基数に変えるPrikry型の強制法が種々知られていることから、特異基数の後続基数に強い意味での飽和性を持つフィルタをのせることができる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究課題を構想した契機は、Easton崩壊の２回反復強制法によって強い意味での飽和フィルタが後続基数の上に存在するモデルの構成に成功したことであった。この結果によって、Kunenの手法を用いて得られた種々のモデルに新たな構成法が与えられる可能性が開かれた。
Kunenの手法は、広義の無限回反復強制法を用いて複雑なので応用には様々な困難が伴う。例えば、すべての正則基数上に飽和フィルタが存在するモデルの構成は、準備段階の構成から非常に複雑であった。本研究で開発された手法により、この構成はEaston崩壊の無限回反復で済むことがわかる。
さらに、後続基数にとって最も強い性質である稠密性を持つフィルタが存在するモデルを構成することに成功した。Woodinによるモデルの構成は、選択公理が成立しないモデルを経由するものなので、対応する強制法の明示的な形が不明である。本研究により、新たな崩壊代数を明示的に定義することができた。Woodinの手法はKunenの手法とは全く異なるものであると思われてきたが、本研究により類似性も浮かび上がらせることができた。
Kunenの手法が有効な問題には他に、Chang予想が成立するモデルの構成がある。特に、Foremanによる3組に対するChang予想のモデルの構成は非常に複雑であった。本研究により、大幅に簡易化されたモデルの構成を与えることに成功した。
以上の成果により、本研究課題の進捗は概ね順調であると言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
後続基数上に稠密フィルタが存在するモデルを構成できたことから、クラブフィルタが局所的に稠密性を持つモデルを構成することが次の目標となる。そのためには、稠密フィルタのための手法を拡張する必要がある。また、omega_2上にomega_1稠密フィルタが存在するモデルの構成も目標である。Foremanによる先行研究があるがそのモデルは、非常に複雑であった。ForemanはWoodinの手法を用いていたが、本研究の手法を用いることで大幅な簡易化が期待できる。これに成功すれば、omega_3上にomega_1稠密フィルタが存在するモデルを構成する未解決問題にも解決の目処が立つであろう。また、稠密フィルタによる商代数の性質に関して、本研究でのモデルではBaireの性質を持つことがわかっている。これをさらに強めることが可能かを調べたい。
Chang予想が成立するモデルの研究もさらに進める。例えば、３組に対するChang予想が1例だけでなく多数同時に成立するモデルを構成することを目指す。また、4組に対するChang予想が成立するモデルの構成は未解決である。Foremanはこの問題に対する障害としてghost coordinateの問題を挙げているが、その詳細は不明である。本研究における、自然なモデルの構成を詳細に分析することにより、ghost coordinateの問題を解明することが期待できる。4組問題に対するヒントも得られるであろう。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
研究集会へ参加するための旅費として使用する計画だったものが、オンライン開催等に変更されて未使用となったため。今後、研究集会が対面で開催されることが見込まれるので、旅費として使用し、また物品費としても使用する。
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