| 研究課題/領域番号 |
21K03336
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
坪井 明人 筑波大学, 数理物質系(名誉教授), 名誉教授 (30180045)
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| 研究分担者 |
竹内 耕太 筑波大学, 数理物質系, 助教 (50722485) [辞退]
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| キーワード | モデル理論 / ランダム構造 / ランダムグラフ / 彩色 |
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| 研究実績の概要 |
モデル理論においては，グラフとは2変数述語Rによって書かれた構造であり，対称性と非反射性を有するものとして扱うことが通常である．この場合Rを満たす２点は辺が存在すると考える．ランダムグラフは，すべての有限グラフのクラスのフライセ（Fraisse）極限として定義される．直観的にはすべての有限グラフをランダムに貼り合わせてできる可算無限構造となる．ランダムグラフGの辺に対する（有限色による）彩色が与えられたとき，Gのジェネリックな部分構造H（すなわちGと同型になる誘導部分グラフ）で単色のものがあるかどうかという問題を考えたとき，単色のジェネリック部分構造を持たないケースが知られている．本研究では，いかなる場合に単色ジェネリック部分構造が存在するかについて考察を行い，それがShelahの定義した強い意味の順序性（SOP,strict order property）と非常に関連性があるという結果を得た．
具体的には次の結果を得た：
結果：Gを可算ランダムグラフとする．また辺の有限彩色が与えられているとする．ただし，辺の有限彩色とは，有限個の互いに素な述語R１，．．．，Rｎの和としてＲを表現することを指す．このとき，次は同値である：
１．Ｇのジェネリック部分構造Ｈで，単一彩色のものが存在する．すなわちＨ上ではＲ＝Ｒｋとなるｋが存在する．
２．Ｇの任意のジェネリック部分構造Hに対して，更なるジェネリック部分構造Kであって，Kの拡張言語における理論がSOP(strict order property)を持つものがある．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
本研究では有限構造の解析に無限構造を利用することが主眼としてある．ランダム構造はそのような目的として使う．無限構造で得られた結果を有限構造に戻す段階では概ね当初考えていた方法を利用できているが，更なる発展のためには，より新しい発想が必要になると考えている．このため少し時間が必要になっている．
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| 今後の研究の推進方策 |
今後はランダム構造における自己同型写像のorbitの個数について研究を行いたいと考えている．このため，自己同型群に関する知見を多く有する研究者との共同研究なども視野に入れたいと考える．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2023年度前半ではコロナ禍の影響がまだ残っており，研究集会などの開催が平年よりも少なく，研究代表者本人および学生旅費の援助額が通常より少なかったため，次年度使用額が生じた．今年度は，研究集会なども通常に近い形になると思うので，使用額は今後増加すると考えている．
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