2022 年度実施状況報告書

対数行列式付き半正定値計画問題に対する改良双対射影勾配法の構築

研究課題

研究課題/領域番号	21K11767
研究機関	東京工業大学
研究代表者	山下真東京工業大学, 情報理工学院, 教授 (20386824)
研究期間 (年度)	2021-04-01 – 2024-03-31
キーワード	応用数学 / 数理最適化 / 半正定値計画問題 / 錐最適化
研究実績の概要	本研究課題で対象としている対数行列式付き半正定値計画問題は、変数が対称行列であり制約として線形制約を含んでいる数理最適化問題の一種であり、特徴的な構造として目的関数に変数行列の線形項だけでなく対数行列式を持ち合わせいる点が挙げられる。このような数理最適化問題の求解は、例えば疎性を考慮したうえでの多変数の最尤推定などとも関係があり、大規模な問題を短時間で求解する計算手法への需要がある。計算手法を構築する際に最急降下法などをベースとした場合には目的関数の勾配の計算が必要となるが、対数行列式の勾配は変数行列の逆行列で与えられるため計算効率が高い。この性質と双対問題の数理的構造に基づいて、これまでに双対射影勾配法を提案してきた。本研究課題では、クラスタ分類情報を扱うための項を目的関数に追加した場合に双対射影勾配法をどのように改良するべきか、を焦点の一つとして研究を進めている。前年度に改良版の双対射影勾配法の理論的解析を行ったことを引き継いで、本年度は主に以下の３点を行った。 (1) 従来の双対射影勾配法と改良した双対射影勾配法を数値実験で比較を行い、改良版が短時間で求解可能であることを確認した。また、求解可能な問題規模についても改良版によって改善されることも確認できた。このことは射影計算の効率化による貢献が大きい。 (2) 錐最適化に関する内点法の一つである弦探索型主双対内点法について、各反復で Momentum の項を追加した場合の最適解への収束を解析し、錐最適化問題の計算手法に関する理論的な知見を得た。 (3) 国際ワークショップとして International Workshop on Continuous Optimization を共同で開催し、海外研究者や国内の若手研究者との研究交流の機会を設けた。
現在までの達成度 (区分)	現在までの達成度 (区分) 2: おおむね順調に進展している理由対数行列式付き半正定値計画問題における変数行列の次元を n とした場合に、目的関数に追加されるクラスタ分類情報の項は n の4乗に比例した項の和として構成される。双対問題として直接捉えた場合には n の4乗に比例した本数という制約が必要となり、n = 100 程度であっても数千万の制約が含まれることとなり、この多数の制約をどのように扱うかが計算手法全体の効率性の要点である。従来の双対射影勾配法では各制約を満たしているかどうかの判定の代わりに制約のなす集合への射影計算を用いている点に着目して、本研究では、この射影計算を効率化することで計算時間の短縮及び大規模問題への対応を図っている。本年度の研究では、まずは基本的なデータ生成に関して数値実験を行い、従来手法の60分の1程度の計算時間で改良手法が求解していることなどを確認した。また、既存研究で用いられたデータ生成法で生成した問題に対しても、陽に制約を持った場合には１億本程度の制約になる規模でも改良手法では求解可能であることを確認した。また、さらなる高速化も視野に入れて、半正定値計画問題の変数行列を小規模な複数の変数行列に分解して求解する計算方法についても検討を行った。半正定値計画問題に対する行列分解の手法としては Chordal graph に基づく分解手法が研究されてきたが、その他の分解方法などについても理論的性質などの把握を行った。特に、Chordal graph に基づく場合は元問題と同値な問題へと変換することが一般的であるが、その他の手法では入力行列の疎性パターンが持つ数理的構造によって元問題との差異が生じることがある。これまでに、目的関数の差異がどの程度現れるか、また計算時間にどのような影響が表れるか、を簡単な半正定値計画問題を用いた数値実験で確認を行った。
今後の研究の推進方策	目的関数にクラスタ分類情報の項を追加した場合の対数行列式付き半正定値計画問題に対する結果の一部は、国際会議である SIAM Conference on Optimization 2023 で発表する予定である。また、数値的安定性に向上の余地があると考えられるため、内部反復のパラメータなどの調整も行う。数値実験で扱っているデータについても拡充などを行い、これらの数値結果と前年度までの理論的解析を取りまとめ、学術雑誌への投稿を行う。また、行列分解については理論的な側面にも着目をして研究を推進する。Chordal graph に基づく分解では、分解して得られた最適化問題の解の各分解成分を合成して元の問題の最適解に復元する過程は対数行列式とも密接に関係しており、このような関係性に基づく解析を行う。その他の分解方法については、計算時間と目的関数における計算精度のトレードオフが存在することが多く、そのバランスを考慮した計算手法の構築を行う。特に、行列の疎性構造はバランスを考慮する上で着目すべき点の一つになると考えられ、帯対角構造などの場合などに検証を行う。一方で、対数行列式付き半正定値計画問題では行列の半正定値条件が制約条件の重要な要素となっているが、同じく半正定値条件を利用して緩和解を構築する多項式最適化問題では、半正定値行列を優対角行列により近似する計算手法も既存手法にはあり、このような手法が対数行列式付きに対しても有効であるか、も今後の研究の方向性の一つと考えられる。この場合も近似であるために、上記と同様に計算精度と計算時間のバランスが課題となるが、他方で上記のChordal graph に基づく分解と組み合わせるなど他の組み合わせも考えらえる。
次年度使用額が生じた理由	2022年度も2021年度に引き続いて新型コロナウィルスの影響により国際会議への参加を見送ったため、旅費などに相当する金額の使用を行わなかった。 2023年度はSIAM Optimization に参加を予定しているが航空券が高額となっているため、この金額を航空券に充当することを検討している。