| 研究実績の概要 |
p を奇素数, k を p が分解する虚二次体とする. k の p-Hilbert類体がある Zp-拡大の中に含まれるとき, k を p-rationalな虚二次体と呼ぶことにする. 2023年度は岩澤加群の構造に関して研究を行った. 特に弱一般 Greenberg 予想の証明を試みた。弱一般 Greenberg 予想とは「kの最大多重Zp-拡大に付随する不分岐岩澤加群 X が非自明であれば, X は非自明な擬零部分加群を持つだろう」という予想である. この証明はまだ完全には解決していないがその研究過程において, 次の2つの結果を得た：
（i）p の k 上の素点を P（もう一方を P*）とおく. このとき, k の円分 Zp-拡大 K の各中間体 k_n について, k_n の P 上の素点の外不分岐最大なアーベル拡大体の k_n 上のガロア群のねじれ部分（つまり, 最大有限部分加群）は, 円分 Zp-拡大 K/k に付随する岩澤ベキ級数の自明零点を除いたもので決まる.さらに, k が p-rational で円分 Zp-拡大に対する岩澤不変量が 2 の場合は, ねじれ部分の位数は岩澤ベキ級数に関係なく同じ形(中間体の n のみに依存する式)で表せることがわかった.
(ii) D を k の p 上の素点 P の(k 上の最大多重 Zp-拡大における)分解群とする. D が (有理数体からみて)非正規部分群である仮定のもとで弱一般 Greenberg 予想を証明した. この結果に関して, これまでの研究では二つの仮定（円分 Zp-拡大に付随する p 進 L 関数が重根を持たないこと, k の P の外不分岐な Zp-拡大の岩澤 λ 不変量が 0 であること）が必要であったが, 今回の研究によりこの仮定を取り除くことができた.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
虚二次体 k の最大多重 Z_p-拡大を L とおく. 弱一般 Greenberg 予想の証明には, L の P 上の素点の外不分岐最大アーベル拡大体 M について精確な情報が必要である. 2022 年度で最初の目標であった木田の公式の証明が完了し, 2023年度は, このアーベル拡大 M について研究を進めた. M の情報についてまだ十分に得られていないため, 2024年度も引き続き M に対する岩澤加群の構造に関する研究を継続する.
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